Integral de x(((2-x^2)^12)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 - x^{2}$.

      Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{u^{12}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{12}\, du = - \frac{\int u^{12}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{13}}{26}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(2 - x^{2}\right)^{13}}{26}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(2 - x^{2}\right)^{12} = x^{25} - 24 x^{23} + 264 x^{21} - 1760 x^{19} + 7920 x^{17} - 25344 x^{15} + 59136 x^{13} - 101376 x^{11} + 126720 x^{9} - 112640 x^{7} + 67584 x^{5} - 24576 x^{3} + 4096 x$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{25}\, dx = \frac{x^{26}}{26}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 24 x^{23}\right)\, dx = - 24 \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 264 x^{21}\, dx = 264 \int x^{21}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{21}\, dx = \frac{x^{22}}{22}$

         Por lo tanto, el resultado es: $12 x^{22}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1760 x^{19}\right)\, dx = - 1760 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 88 x^{20}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7920 x^{17}\, dx = 7920 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $440 x^{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 25344 x^{15}\right)\, dx = - 25344 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 1584 x^{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 59136 x^{13}\, dx = 59136 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4224 x^{14}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 101376 x^{11}\right)\, dx = - 101376 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 8448 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 126720 x^{9}\, dx = 126720 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $12672 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 112640 x^{7}\right)\, dx = - 112640 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 14080 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 67584 x^{5}\, dx = 67584 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $11264 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 24576 x^{3}\right)\, dx = - 24576 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 6144 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4096 x\, dx = 4096 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2048 x^{2}$

      El resultado es: $\frac{x^{26}}{26} - x^{24} + 12 x^{22} - 88 x^{20} + 440 x^{18} - 1584 x^{16} + 4224 x^{14} - 8448 x^{12} + 12672 x^{10} - 14080 x^{8} + 11264 x^{6} - 6144 x^{4} + 2048 x^{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{2} - 2\right)^{13}}{26}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} - 2\right)^{13}}{26}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} - 2\right)^{13}}{26}+ \mathrm{constant}$