Integral de x³(x²-4)³ dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{u^{4}}{2} - 6 u^{3} + 24 u^{2} - 32 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{4}}{2}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{10}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 6 u^{3}\right)\, du = - 6 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{4}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 24 u^{2}\, du = 24 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $8 u^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 32 u\right)\, du = - 32 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 16 u^{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{5}}{10} - \frac{3 u^{4}}{2} + 8 u^{3} - 16 u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{10}}{10} - \frac{3 x^{8}}{2} + 8 x^{6} - 16 x^{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{3} \left(x^{2} - 4\right)^{3} = x^{9} - 12 x^{7} + 48 x^{5} - 64 x^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 12 x^{7}\right)\, dx = - 12 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{8}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 48 x^{5}\, dx = 48 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 64 x^{3}\right)\, dx = - 64 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 16 x^{4}$

      El resultado es: $\frac{x^{10}}{10} - \frac{3 x^{8}}{2} + 8 x^{6} - 16 x^{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{4} \left(x^{6} - 15 x^{4} + 80 x^{2} - 160\right)}{10}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4} \left(x^{6} - 15 x^{4} + 80 x^{2} - 160\right)}{10}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4} \left(x^{6} - 15 x^{4} + 80 x^{2} - 160\right)}{10}+ \mathrm{constant}$