Integral de (√x+2xcosx)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(4 u \cos{\left(u^{2} \right)} + 2\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 u \cos{\left(u^{2} \right)}\, du = 4 \int u \cos{\left(u^{2} \right)}\, du$

            1. que $u = u^{2}$.

               Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(u^{2} \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u^{2} \right)}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 2\, du = 2 u$

         El resultado es: $2 u + 2 \sin{\left(u^{2} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x} + 2 \sin{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt{x} + 2 x \cos{\left(x \right)}}{x} = 2 \cos{\left(x \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(x \right)}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $2 \sqrt{x} + 2 \sin{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{x} + 2 \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{x} + 2 \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$