Integral de x^7(x^4+5)^8 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{4}$.

      Luego que $du = 4 x^{3} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{u^{9}}{4} + 10 u^{8} + 175 u^{7} + 1750 u^{6} + \frac{21875 u^{5}}{2} + 43750 u^{4} + 109375 u^{3} + 156250 u^{2} + \frac{390625 u}{4}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{9}}{4}\, du = \frac{\int u^{9}\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{10}}{40}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 10 u^{8}\, du = 10 \int u^{8}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10 u^{9}}{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 175 u^{7}\, du = 175 \int u^{7}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{175 u^{8}}{8}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 1750 u^{6}\, du = 1750 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $250 u^{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{21875 u^{5}}{2}\, du = \frac{21875 \int u^{5}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{21875 u^{6}}{12}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 43750 u^{4}\, du = 43750 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $8750 u^{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 109375 u^{3}\, du = 109375 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{109375 u^{4}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 156250 u^{2}\, du = 156250 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{156250 u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{390625 u}{4}\, du = \frac{390625 \int u\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{390625 u^{2}}{8}$

         El resultado es: $\frac{u^{10}}{40} + \frac{10 u^{9}}{9} + \frac{175 u^{8}}{8} + 250 u^{7} + \frac{21875 u^{6}}{12} + 8750 u^{5} + \frac{109375 u^{4}}{4} + \frac{156250 u^{3}}{3} + \frac{390625 u^{2}}{8}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{40}}{40} + \frac{10 x^{36}}{9} + \frac{175 x^{32}}{8} + 250 x^{28} + \frac{21875 x^{24}}{12} + 8750 x^{20} + \frac{109375 x^{16}}{4} + \frac{156250 x^{12}}{3} + \frac{390625 x^{8}}{8}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{7} \left(x^{4} + 5\right)^{8} = x^{39} + 40 x^{35} + 700 x^{31} + 7000 x^{27} + 43750 x^{23} + 175000 x^{19} + 437500 x^{15} + 625000 x^{11} + 390625 x^{7}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{39}\, dx = \frac{x^{40}}{40}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 40 x^{35}\, dx = 40 \int x^{35}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{35}\, dx = \frac{x^{36}}{36}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10 x^{36}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 700 x^{31}\, dx = 700 \int x^{31}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{31}\, dx = \frac{x^{32}}{32}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{175 x^{32}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7000 x^{27}\, dx = 7000 \int x^{27}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{27}\, dx = \frac{x^{28}}{28}$

         Por lo tanto, el resultado es: $250 x^{28}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 43750 x^{23}\, dx = 43750 \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{21875 x^{24}}{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 175000 x^{19}\, dx = 175000 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8750 x^{20}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 437500 x^{15}\, dx = 437500 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{109375 x^{16}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 625000 x^{11}\, dx = 625000 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{156250 x^{12}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 390625 x^{7}\, dx = 390625 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{390625 x^{8}}{8}$

      El resultado es: $\frac{x^{40}}{40} + \frac{10 x^{36}}{9} + \frac{175 x^{32}}{8} + 250 x^{28} + \frac{21875 x^{24}}{12} + 8750 x^{20} + \frac{109375 x^{16}}{4} + \frac{156250 x^{12}}{3} + \frac{390625 x^{8}}{8}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{8} \left(9 x^{32} + 400 x^{28} + 7875 x^{24} + 90000 x^{20} + 656250 x^{16} + 3150000 x^{12} + 9843750 x^{8} + 18750000 x^{4} + 17578125\right)}{360}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{8} \left(9 x^{32} + 400 x^{28} + 7875 x^{24} + 90000 x^{20} + 656250 x^{16} + 3150000 x^{12} + 9843750 x^{8} + 18750000 x^{4} + 17578125\right)}{360}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{8} \left(9 x^{32} + 400 x^{28} + 7875 x^{24} + 90000 x^{20} + 656250 x^{16} + 3150000 x^{12} + 9843750 x^{8} + 18750000 x^{4} + 17578125\right)}{360}+ \mathrm{constant}$