Integral de 1/(3+(9x+1)^(1/2)) dx

1. que $u = \sqrt{9 x + 1}$.

   Luego que $du = \frac{9 dx}{2 \sqrt{9 x + 1}}$ y ponemos $2 du$:

   $\int \frac{2 u}{9 u + 27}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{u}{9 u + 27}\, du = 2 \int \frac{u}{9 u + 27}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u}{9 u + 27} = \frac{1}{9} - \frac{1}{3 \left(u + 3\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{9}\, du = \frac{u}{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{3 \left(u + 3\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 3}\, du}{3}$

            1. que $u = u + 3$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u + 3 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u + 3 \right)}}{3}$

         El resultado es: $\frac{u}{9} - \frac{\log{\left(u + 3 \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u}{9} - \frac{2 \log{\left(u + 3 \right)}}{3}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{2 \sqrt{9 x + 1}}{9} - \frac{2 \log{\left(\sqrt{9 x + 1} + 3 \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{9 x + 1}}{9} - \frac{2 \log{\left(\sqrt{9 x + 1} + 3 \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{9 x + 1}}{9} - \frac{2 \log{\left(\sqrt{9 x + 1} + 3 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{9 x + 1}}{9} - \frac{2 \log{\left(\sqrt{9 x + 1} + 3 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$