Integral de xsin2xy dx

Solución

Ha introducido [src]

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  /                
 |                 
 |  x*sin(2*x)*y dx
 |                 
/                  
0

$$\int\limits_{0}^{1} y x \sin{\left(2 x \right)}\, dx$$

Integral((x*sin(2*x))*y, (x, 0, 1))

Solución detallada

La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

$\int y x \sin{\left(2 x \right)}\, dx = y \int x \sin{\left(2 x \right)}\, dx$
1. Hay varias maneras de calcular esta integral.
  Método #1
  1. Usamos la integración por partes:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ .
    
    Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
    
    Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.
      
      Método #1
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Método #2
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u\, du = - \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$
    Ahora resolvemos podintegral.
  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
    1. que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
  Método #2
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
Por lo tanto, el resultado es: $y \left(- \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)$
Ahora simplificar:

$\frac{y \left(- 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right)}{4}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{y \left(- 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{y \left(- 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                               
 |                         /sin(2*x)   x*cos(2*x)\
 | x*sin(2*x)*y dx = C + y*|-------- - ----------|
 |                         \   4           2     /
/

$$\int y x \sin{\left(2 x \right)}\, dx = C + y \left(- \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)$$

Simplificar

Respuesta [src]

  /  cos(2)   sin(2)\
y*|- ------ + ------|
  \    2        4   /

$$y \left(- \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{4}\right)$$

  /  cos(2)   sin(2)\
y*|- ------ + ------|
  \    2        4   /

$$y \left(- \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{4}\right)$$

y*(-cos(2)/2 + sin(2)/4)

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Integral de xsin2xy dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #1

Método #2

Método #2