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Resolución de integrales/ sin2x/ xsin2xy

Integral de xsin2xy dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |  x*sin(2*x)*y dx
 |                 
/                  
0
∫01yxsin⁡(2x) dx\int\limits_{0}^{1} y x \sin{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral((x*sin(2*x))*y, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫yxsin⁡(2x) dx=y∫xsin⁡(2x) dx\int y x \sin{\left(2 x \right)}\, dx = y \int x \sin{\left(2 x \right)}\, dx

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

          Método #2

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      Método #2

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xsin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫xsin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2x)4) dx=−∫cos⁡(2x) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)8- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: −xcos⁡(2x)2+sin⁡(2x)4- \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

    Por lo tanto, el resultado es: y(−xcos⁡(2x)2+sin⁡(2x)4)y \left(- \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)

  2. Ahora simplificar:

    y(−2xcos⁡(2x)+sin⁡(2x))4\frac{y \left(- 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    y(−2xcos⁡(2x)+sin⁡(2x))4+constant\frac{y \left(- 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

y(−2xcos⁡(2x)+sin⁡(2x))4+constant\frac{y \left(- 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                               
 |                         /sin(2*x)   x*cos(2*x)\
 | x*sin(2*x)*y dx = C + y*|-------- - ----------|
 |                         \   4           2     /
/
∫yxsin⁡(2x) dx=C+y(−xcos⁡(2x)2+sin⁡(2x)4)\int y x \sin{\left(2 x \right)}\, dx = C + y \left(- \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)
Simplificar
Respuesta [src] 
  /  cos(2)   sin(2)\
y*|- ------ + ------|
  \    2        4   /
y(−cos⁡(2)2+sin⁡(2)4)y \left(- \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{4}\right) 
=
= 
  /  cos(2)   sin(2)\
y*|- ------ + ------|
  \    2        4   /
y(−cos⁡(2)2+sin⁡(2)4)y \left(- \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{4}\right) 
y*(-cos(2)/2 + sin(2)/4)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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