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Resolución de integrales/ 1/((3x+4)^(1/2)+2*(3x+4)^(1/4))

Integral de 1/((3x+4)^(1/2)+2*(3x+4)^(1/4)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                               
  /                               
 |                                
 |               1                
 |  --------------------------- dx
 |    _________     4 _________   
 |  \/ 3*x + 4  + 2*\/ 3*x + 4    
 |                                
/                                 
0
∫01123x+44+3x+4 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{2 \sqrt[4]{3 x + 4} + \sqrt{3 x + 4}}\, dx 
Integral(1/(sqrt(3*x + 4) + 2*(3*x + 4)^(1/4)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=3x+4u = \sqrt{3 x + 4}.

      Luego que du=3dx23x+4du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x + 4}} y ponemos 2du2 du:

      ∫2u6u+3u du\int \frac{2 u}{6 \sqrt{u} + 3 u}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u6u+3u du=2∫u6u+3u du\int \frac{u}{6 \sqrt{u} + 3 u}\, du = 2 \int \frac{u}{6 \sqrt{u} + 3 u}\, du

        1. que u=uu = \sqrt{u}.

          Luego que du=du2udu = \frac{du}{2 \sqrt{u}} y ponemos 2du2 du:

          ∫2u23u+6 du\int \frac{2 u^{2}}{3 u + 6}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u23u+6 du=2∫u23u+6 du\int \frac{u^{2}}{3 u + 6}\, du = 2 \int \frac{u^{2}}{3 u + 6}\, du

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              u23u+6=u3−23+43(u+2)\frac{u^{2}}{3 u + 6} = \frac{u}{3} - \frac{2}{3} + \frac{4}{3 \left(u + 2\right)}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u3 du=∫u du3\int \frac{u}{3}\, du = \frac{\int u\, du}{3}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: u26\frac{u^{2}}{6}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫(−23) du=−2u3\int \left(- \frac{2}{3}\right)\, du = - \frac{2 u}{3}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫43(u+2) du=4∫1u+2 du3\int \frac{4}{3 \left(u + 2\right)}\, du = \frac{4 \int \frac{1}{u + 2}\, du}{3}

                1. que u=u+2u = u + 2.

                  Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                  ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  log⁡(u+2)\log{\left(u + 2 \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(u+2)3\frac{4 \log{\left(u + 2 \right)}}{3}

              El resultado es: u26−2u3+4log⁡(u+2)3\frac{u^{2}}{6} - \frac{2 u}{3} + \frac{4 \log{\left(u + 2 \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: u23−4u3+8log⁡(u+2)3\frac{u^{2}}{3} - \frac{4 u}{3} + \frac{8 \log{\left(u + 2 \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −4u3+u3+8log⁡(u+2)3- \frac{4 \sqrt{u}}{3} + \frac{u}{3} + \frac{8 \log{\left(\sqrt{u} + 2 \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −8u3+2u3+16log⁡(u+2)3- \frac{8 \sqrt{u}}{3} + \frac{2 u}{3} + \frac{16 \log{\left(\sqrt{u} + 2 \right)}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −83x+443+23x+43+16log⁡(3x+44+2)3- \frac{8 \sqrt[4]{3 x + 4}}{3} + \frac{2 \sqrt{3 x + 4}}{3} + \frac{16 \log{\left(\sqrt[4]{3 x + 4} + 2 \right)}}{3}

    Método #2

    1. que u=3x+44u = \sqrt[4]{3 x + 4}.

      Luego que du=3dx4(3x+4)34du = \frac{3 dx}{4 \left(3 x + 4\right)^{\frac{3}{4}}} y ponemos 4du4 du:

      ∫4u23u+6 du\int \frac{4 u^{2}}{3 u + 6}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u23u+6 du=4∫u23u+6 du\int \frac{u^{2}}{3 u + 6}\, du = 4 \int \frac{u^{2}}{3 u + 6}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u23u+6=u3−23+43(u+2)\frac{u^{2}}{3 u + 6} = \frac{u}{3} - \frac{2}{3} + \frac{4}{3 \left(u + 2\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u3 du=∫u du3\int \frac{u}{3}\, du = \frac{\int u\, du}{3}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: u26\frac{u^{2}}{6}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−23) du=−2u3\int \left(- \frac{2}{3}\right)\, du = - \frac{2 u}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫43(u+2) du=4∫1u+2 du3\int \frac{4}{3 \left(u + 2\right)}\, du = \frac{4 \int \frac{1}{u + 2}\, du}{3}

            1. que u=u+2u = u + 2.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u+2)\log{\left(u + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(u+2)3\frac{4 \log{\left(u + 2 \right)}}{3}

          El resultado es: u26−2u3+4log⁡(u+2)3\frac{u^{2}}{6} - \frac{2 u}{3} + \frac{4 \log{\left(u + 2 \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 2u23−8u3+16log⁡(u+2)3\frac{2 u^{2}}{3} - \frac{8 u}{3} + \frac{16 \log{\left(u + 2 \right)}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −83x+443+23x+43+16log⁡(3x+44+2)3- \frac{8 \sqrt[4]{3 x + 4}}{3} + \frac{2 \sqrt{3 x + 4}}{3} + \frac{16 \log{\left(\sqrt[4]{3 x + 4} + 2 \right)}}{3}

  2. Ahora simplificar:

    −83x+443+23x+43+16log⁡(3x+44+2)3- \frac{8 \sqrt[4]{3 x + 4}}{3} + \frac{2 \sqrt{3 x + 4}}{3} + \frac{16 \log{\left(\sqrt[4]{3 x + 4} + 2 \right)}}{3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −83x+443+23x+43+16log⁡(3x+44+2)3+constant- \frac{8 \sqrt[4]{3 x + 4}}{3} + \frac{2 \sqrt{3 x + 4}}{3} + \frac{16 \log{\left(\sqrt[4]{3 x + 4} + 2 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−83x+443+23x+43+16log⁡(3x+44+2)3+constant- \frac{8 \sqrt[4]{3 x + 4}}{3} + \frac{2 \sqrt{3 x + 4}}{3} + \frac{16 \log{\left(\sqrt[4]{3 x + 4} + 2 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                            
 |                                        4 _________       _________         /    4 _________\
 |              1                       8*\/ 3*x + 4    2*\/ 3*x + 4    16*log\2 + \/ 3*x + 4 /
 | --------------------------- dx = C - ------------- + ------------- + -----------------------
 |   _________     4 _________                3               3                    3           
 | \/ 3*x + 4  + 2*\/ 3*x + 4                                                                  
 |                                                                                             
/
∫123x+44+3x+4 dx=C−83x+443+23x+43+16log⁡(3x+44+2)3\int \frac{1}{2 \sqrt[4]{3 x + 4} + \sqrt{3 x + 4}}\, dx = C - \frac{8 \sqrt[4]{3 x + 4}}{3} + \frac{2 \sqrt{3 x + 4}}{3} + \frac{16 \log{\left(\sqrt[4]{3 x + 4} + 2 \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9005
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
            /      ___\     4 ___       ___       ___         /    4 ___\
  4   16*log\2 + \/ 2 /   8*\/ 7    2*\/ 7    8*\/ 2    16*log\2 + \/ 7 /
- - - ----------------- - ------- + ------- + ------- + -----------------
  3           3              3         3         3              3
−16log⁡(2+2)3−8743−43+273+823+16log⁡(74+2)3- \frac{16 \log{\left(\sqrt{2} + 2 \right)}}{3} - \frac{8 \sqrt[4]{7}}{3} - \frac{4}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3} + \frac{8 \sqrt{2}}{3} + \frac{16 \log{\left(\sqrt[4]{7} + 2 \right)}}{3} 
=
= 
            /      ___\     4 ___       ___       ___         /    4 ___\
  4   16*log\2 + \/ 2 /   8*\/ 7    2*\/ 7    8*\/ 2    16*log\2 + \/ 7 /
- - - ----------------- - ------- + ------- + ------- + -----------------
  3           3              3         3         3              3
−16log⁡(2+2)3−8743−43+273+823+16log⁡(74+2)3- \frac{16 \log{\left(\sqrt{2} + 2 \right)}}{3} - \frac{8 \sqrt[4]{7}}{3} - \frac{4}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3} + \frac{8 \sqrt{2}}{3} + \frac{16 \log{\left(\sqrt[4]{7} + 2 \right)}}{3} 
-4/3 - 16*log(2 + sqrt(2))/3 - 8*7^(1/4)/3 + 2*sqrt(7)/3 + 8*sqrt(2)/3 + 16*log(2 + 7^(1/4))/3
Respuesta numérica [src] 
0.186023169344847
0.186023169344847

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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