Integral de 1/((3x+4)^(1/2)+2*(3x+4)^(1/4)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{3 x + 4}$.

      Luego que $du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x + 4}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 u}{6 \sqrt{u} + 3 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{6 \sqrt{u} + 3 u}\, du = 2 \int \frac{u}{6 \sqrt{u} + 3 u}\, du$

         1. que $u = \sqrt{u}$.

            Luego que $du = \frac{du}{2 \sqrt{u}}$ y ponemos $2 du$:

            $\int \frac{2 u^{2}}{3 u + 6}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u^{2}}{3 u + 6}\, du = 2 \int \frac{u^{2}}{3 u + 6}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u^{2}}{3 u + 6} = \frac{u}{3} - \frac{2}{3} + \frac{4}{3 \left(u + 2\right)}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{u}{3}\, du = \frac{\int u\, du}{3}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{6}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \left(- \frac{2}{3}\right)\, du = - \frac{2 u}{3}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{4}{3 \left(u + 2\right)}\, du = \frac{4 \int \frac{1}{u + 2}\, du}{3}$

                     1. que $u = u + 2$.

                        Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                        $\int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\log{\left(u + 2 \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \log{\left(u + 2 \right)}}{3}$

                  El resultado es: $\frac{u^{2}}{6} - \frac{2 u}{3} + \frac{4 \log{\left(u + 2 \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{3} - \frac{4 u}{3} + \frac{8 \log{\left(u + 2 \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{4 \sqrt{u}}{3} + \frac{u}{3} + \frac{8 \log{\left(\sqrt{u} + 2 \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 \sqrt{u}}{3} + \frac{2 u}{3} + \frac{16 \log{\left(\sqrt{u} + 2 \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{8 \sqrt[4]{3 x + 4}}{3} + \frac{2 \sqrt{3 x + 4}}{3} + \frac{16 \log{\left(\sqrt[4]{3 x + 4} + 2 \right)}}{3}$

   Método #2

   1. que $u = \sqrt[4]{3 x + 4}$.

      Luego que $du = \frac{3 dx}{4 \left(3 x + 4\right)^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $4 du$:

      $\int \frac{4 u^{2}}{3 u + 6}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{2}}{3 u + 6}\, du = 4 \int \frac{u^{2}}{3 u + 6}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2}}{3 u + 6} = \frac{u}{3} - \frac{2}{3} + \frac{4}{3 \left(u + 2\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u}{3}\, du = \frac{\int u\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{6}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(- \frac{2}{3}\right)\, du = - \frac{2 u}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{4}{3 \left(u + 2\right)}\, du = \frac{4 \int \frac{1}{u + 2}\, du}{3}$

               1. que $u = u + 2$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u + 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \log{\left(u + 2 \right)}}{3}$

            El resultado es: $\frac{u^{2}}{6} - \frac{2 u}{3} + \frac{4 \log{\left(u + 2 \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{2}}{3} - \frac{8 u}{3} + \frac{16 \log{\left(u + 2 \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{8 \sqrt[4]{3 x + 4}}{3} + \frac{2 \sqrt{3 x + 4}}{3} + \frac{16 \log{\left(\sqrt[4]{3 x + 4} + 2 \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{8 \sqrt[4]{3 x + 4}}{3} + \frac{2 \sqrt{3 x + 4}}{3} + \frac{16 \log{\left(\sqrt[4]{3 x + 4} + 2 \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{8 \sqrt[4]{3 x + 4}}{3} + \frac{2 \sqrt{3 x + 4}}{3} + \frac{16 \log{\left(\sqrt[4]{3 x + 4} + 2 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{8 \sqrt[4]{3 x + 4}}{3} + \frac{2 \sqrt{3 x + 4}}{3} + \frac{16 \log{\left(\sqrt[4]{3 x + 4} + 2 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$