Integral de (1-2x)^8 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 - 2 x$.

      Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{u^{8}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{8}\, du = - \frac{\int u^{8}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{18}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(1 - 2 x\right)^{9}}{18}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - 2 x\right)^{8} = 256 x^{8} - 1024 x^{7} + 1792 x^{6} - 1792 x^{5} + 1120 x^{4} - 448 x^{3} + 112 x^{2} - 16 x + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 256 x^{8}\, dx = 256 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{256 x^{9}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1024 x^{7}\right)\, dx = - 1024 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 128 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1792 x^{6}\, dx = 1792 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $256 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1792 x^{5}\right)\, dx = - 1792 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{896 x^{6}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1120 x^{4}\, dx = 1120 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $224 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 448 x^{3}\right)\, dx = - 448 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 112 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 112 x^{2}\, dx = 112 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{112 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 16 x\right)\, dx = - 16 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 8 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $\frac{256 x^{9}}{9} - 128 x^{8} + 256 x^{7} - \frac{896 x^{6}}{3} + 224 x^{5} - 112 x^{4} + \frac{112 x^{3}}{3} - 8 x^{2} + x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 x - 1\right)^{9}}{18}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 x - 1\right)^{9}}{18}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x - 1\right)^{9}}{18}+ \mathrm{constant}$