Integral de cos^37x dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\cos^{3}{\left(7 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(7 x \right)}\right) \cos{\left(7 x \right)}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sin{\left(7 x \right)}$.

      Luego que $du = 7 \cos{\left(7 x \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{1}{7} - \frac{u^{2}}{7}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{7}\, du = \frac{u}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{u^{2}}{7}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{7}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{21}$

         El resultado es: $- \frac{u^{3}}{21} + \frac{u}{7}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\sin^{3}{\left(7 x \right)}}{21} + \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \sin^{2}{\left(7 x \right)}\right) \cos{\left(7 x \right)} = - \sin^{2}{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} + \cos{\left(7 x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \sin^{2}{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(7 x \right)}$.

            Luego que $du = 7 \cos{\left(7 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

            $\int \frac{u^{2}}{7}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{7}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{21}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{3}{\left(7 x \right)}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(7 x \right)}}{21}$

      1. que $u = 7 x$.

         Luego que $du = 7 dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}$

      El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(7 x \right)}}{21} + \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \sin^{2}{\left(7 x \right)}\right) \cos{\left(7 x \right)} = - \sin^{2}{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} + \cos{\left(7 x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \sin^{2}{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(7 x \right)}$.

            Luego que $du = 7 \cos{\left(7 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

            $\int \frac{u^{2}}{7}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{7}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{21}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{3}{\left(7 x \right)}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(7 x \right)}}{21}$

      1. que $u = 7 x$.

         Luego que $du = 7 dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}$

      El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(7 x \right)}}{21} + \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \sin{\left(7 x \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(21 x \right)}}{84}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \sin{\left(7 x \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(21 x \right)}}{84}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \sin{\left(7 x \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(21 x \right)}}{84}+ \mathrm{constant}$