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Resolución de integrales/ x^(1/2)/ x^(4/3)/ ((x^(4/3)+x)^7)/x^(1/2)

Integral de ((x^(4/3)+x)^7)/x^(1/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |            7   
 |  / 4/3    \    
 |  \x    + x/    
 |  ----------- dx
 |       ___      
 |     \/ x       
 |                
/                 
0
∫01(x43+x)7x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(x^{\frac{4}{3}} + x\right)^{7}}{\sqrt{x}}\, dx 
Integral((x^(4/3) + x)^7/sqrt(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=xu = \sqrt{x}.

      Luego que du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} y ponemos dudu:

      ∫(2u563+42u523+70u503+42u463+14u443+14u18+70u16+2u14) du\int \left(2 u^{\frac{56}{3}} + 42 u^{\frac{52}{3}} + 70 u^{\frac{50}{3}} + 42 u^{\frac{46}{3}} + 14 u^{\frac{44}{3}} + 14 u^{18} + 70 u^{16} + 2 u^{14}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2u563 du=2∫u563 du\int 2 u^{\frac{56}{3}}\, du = 2 \int u^{\frac{56}{3}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u563 du=3u59359\int u^{\frac{56}{3}}\, du = \frac{3 u^{\frac{59}{3}}}{59}

          Por lo tanto, el resultado es: 6u59359\frac{6 u^{\frac{59}{3}}}{59}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫42u523 du=42∫u523 du\int 42 u^{\frac{52}{3}}\, du = 42 \int u^{\frac{52}{3}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u523 du=3u55355\int u^{\frac{52}{3}}\, du = \frac{3 u^{\frac{55}{3}}}{55}

          Por lo tanto, el resultado es: 126u55355\frac{126 u^{\frac{55}{3}}}{55}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫70u503 du=70∫u503 du\int 70 u^{\frac{50}{3}}\, du = 70 \int u^{\frac{50}{3}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u503 du=3u53353\int u^{\frac{50}{3}}\, du = \frac{3 u^{\frac{53}{3}}}{53}

          Por lo tanto, el resultado es: 210u53353\frac{210 u^{\frac{53}{3}}}{53}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫42u463 du=42∫u463 du\int 42 u^{\frac{46}{3}}\, du = 42 \int u^{\frac{46}{3}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u463 du=3u49349\int u^{\frac{46}{3}}\, du = \frac{3 u^{\frac{49}{3}}}{49}

          Por lo tanto, el resultado es: 18u4937\frac{18 u^{\frac{49}{3}}}{7}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫14u443 du=14∫u443 du\int 14 u^{\frac{44}{3}}\, du = 14 \int u^{\frac{44}{3}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u443 du=3u47347\int u^{\frac{44}{3}}\, du = \frac{3 u^{\frac{47}{3}}}{47}

          Por lo tanto, el resultado es: 42u47347\frac{42 u^{\frac{47}{3}}}{47}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫14u18 du=14∫u18 du\int 14 u^{18}\, du = 14 \int u^{18}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u18 du=u1919\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}

          Por lo tanto, el resultado es: 14u1919\frac{14 u^{19}}{19}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫70u16 du=70∫u16 du\int 70 u^{16}\, du = 70 \int u^{16}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u16 du=u1717\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}

          Por lo tanto, el resultado es: 70u1717\frac{70 u^{17}}{17}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2u14 du=2∫u14 du\int 2 u^{14}\, du = 2 \int u^{14}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u14 du=u1515\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}

          Por lo tanto, el resultado es: 2u1515\frac{2 u^{15}}{15}

        El resultado es: 6u59359+126u55355+210u53353+18u4937+42u47347+14u1919+70u1717+2u1515\frac{6 u^{\frac{59}{3}}}{59} + \frac{126 u^{\frac{55}{3}}}{55} + \frac{210 u^{\frac{53}{3}}}{53} + \frac{18 u^{\frac{49}{3}}}{7} + \frac{42 u^{\frac{47}{3}}}{47} + \frac{14 u^{19}}{19} + \frac{70 u^{17}}{17} + \frac{2 u^{15}}{15}

      Si ahora sustituir uu más en:

      6x59659+126x55655+210x53653+18x4967+42x47647+14x19219+70x17217+2x15215\frac{6 x^{\frac{59}{6}}}{59} + \frac{126 x^{\frac{55}{6}}}{55} + \frac{210 x^{\frac{53}{6}}}{53} + \frac{18 x^{\frac{49}{6}}}{7} + \frac{42 x^{\frac{47}{6}}}{47} + \frac{14 x^{\frac{19}{2}}}{19} + \frac{70 x^{\frac{17}{2}}}{17} + \frac{2 x^{\frac{15}{2}}}{15}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x43+x)7x=x283+21x263+35x253+21x233+7x223+7x9+35x8+x7x\frac{\left(x^{\frac{4}{3}} + x\right)^{7}}{\sqrt{x}} = \frac{x^{\frac{28}{3}} + 21 x^{\frac{26}{3}} + 35 x^{\frac{25}{3}} + 21 x^{\frac{23}{3}} + 7 x^{\frac{22}{3}} + 7 x^{9} + 35 x^{8} + x^{7}}{\sqrt{x}}

    2. que u=1xu = \frac{1}{\sqrt{x}}.

      Luego que du=−dx2x32du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}} y ponemos −du- du:

      ∫(−2u3503+42u3463+70u3443+42u3403+14u3383+14u116+70u114+2u112u3983) du\int \left(- \frac{2 u^{\frac{350}{3}} + 42 u^{\frac{346}{3}} + 70 u^{\frac{344}{3}} + 42 u^{\frac{340}{3}} + 14 u^{\frac{338}{3}} + 14 u^{116} + 70 u^{114} + 2 u^{112}}{u^{\frac{398}{3}}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2u3503+42u3463+70u3443+42u3403+14u3383+14u116+70u114+2u112u3983 du=−∫2u3503+42u3463+70u3443+42u3403+14u3383+14u116+70u114+2u112u3983 du\int \frac{2 u^{\frac{350}{3}} + 42 u^{\frac{346}{3}} + 70 u^{\frac{344}{3}} + 42 u^{\frac{340}{3}} + 14 u^{\frac{338}{3}} + 14 u^{116} + 70 u^{114} + 2 u^{112}}{u^{\frac{398}{3}}}\, du = - \int \frac{2 u^{\frac{350}{3}} + 42 u^{\frac{346}{3}} + 70 u^{\frac{344}{3}} + 42 u^{\frac{340}{3}} + 14 u^{\frac{338}{3}} + 14 u^{116} + 70 u^{114} + 2 u^{112}}{u^{\frac{398}{3}}}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          2u3503+42u3463+70u3443+42u3403+14u3383+14u116+70u114+2u112u3983=2u16+70u18+14u20+14u503+42u523+70u563+42u583+2u623\frac{2 u^{\frac{350}{3}} + 42 u^{\frac{346}{3}} + 70 u^{\frac{344}{3}} + 42 u^{\frac{340}{3}} + 14 u^{\frac{338}{3}} + 14 u^{116} + 70 u^{114} + 2 u^{112}}{u^{\frac{398}{3}}} = \frac{2}{u^{16}} + \frac{70}{u^{18}} + \frac{14}{u^{20}} + \frac{14}{u^{\frac{50}{3}}} + \frac{42}{u^{\frac{52}{3}}} + \frac{70}{u^{\frac{56}{3}}} + \frac{42}{u^{\frac{58}{3}}} + \frac{2}{u^{\frac{62}{3}}}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2u16 du=2∫1u16 du\int \frac{2}{u^{16}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{16}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u16 du=−115u15\int \frac{1}{u^{16}}\, du = - \frac{1}{15 u^{15}}

            Por lo tanto, el resultado es: −215u15- \frac{2}{15 u^{15}}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫70u18 du=70∫1u18 du\int \frac{70}{u^{18}}\, du = 70 \int \frac{1}{u^{18}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u18 du=−117u17\int \frac{1}{u^{18}}\, du = - \frac{1}{17 u^{17}}

            Por lo tanto, el resultado es: −7017u17- \frac{70}{17 u^{17}}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫14u20 du=14∫1u20 du\int \frac{14}{u^{20}}\, du = 14 \int \frac{1}{u^{20}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u20 du=−119u19\int \frac{1}{u^{20}}\, du = - \frac{1}{19 u^{19}}

            Por lo tanto, el resultado es: −1419u19- \frac{14}{19 u^{19}}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫14u503 du=14∫1u503 du\int \frac{14}{u^{\frac{50}{3}}}\, du = 14 \int \frac{1}{u^{\frac{50}{3}}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u503 du=−347u473\int \frac{1}{u^{\frac{50}{3}}}\, du = - \frac{3}{47 u^{\frac{47}{3}}}

            Por lo tanto, el resultado es: −4247u473- \frac{42}{47 u^{\frac{47}{3}}}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫42u523 du=42∫1u523 du\int \frac{42}{u^{\frac{52}{3}}}\, du = 42 \int \frac{1}{u^{\frac{52}{3}}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u523 du=−349u493\int \frac{1}{u^{\frac{52}{3}}}\, du = - \frac{3}{49 u^{\frac{49}{3}}}

            Por lo tanto, el resultado es: −187u493- \frac{18}{7 u^{\frac{49}{3}}}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫70u563 du=70∫1u563 du\int \frac{70}{u^{\frac{56}{3}}}\, du = 70 \int \frac{1}{u^{\frac{56}{3}}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u563 du=−353u533\int \frac{1}{u^{\frac{56}{3}}}\, du = - \frac{3}{53 u^{\frac{53}{3}}}

            Por lo tanto, el resultado es: −21053u533- \frac{210}{53 u^{\frac{53}{3}}}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫42u583 du=42∫1u583 du\int \frac{42}{u^{\frac{58}{3}}}\, du = 42 \int \frac{1}{u^{\frac{58}{3}}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u583 du=−355u553\int \frac{1}{u^{\frac{58}{3}}}\, du = - \frac{3}{55 u^{\frac{55}{3}}}

            Por lo tanto, el resultado es: −12655u553- \frac{126}{55 u^{\frac{55}{3}}}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2u623 du=2∫1u623 du\int \frac{2}{u^{\frac{62}{3}}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{\frac{62}{3}}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u623 du=−359u593\int \frac{1}{u^{\frac{62}{3}}}\, du = - \frac{3}{59 u^{\frac{59}{3}}}

            Por lo tanto, el resultado es: −659u593- \frac{6}{59 u^{\frac{59}{3}}}

          El resultado es: −215u15−7017u17−1419u19−4247u473−187u493−21053u533−12655u553−659u593- \frac{2}{15 u^{15}} - \frac{70}{17 u^{17}} - \frac{14}{19 u^{19}} - \frac{42}{47 u^{\frac{47}{3}}} - \frac{18}{7 u^{\frac{49}{3}}} - \frac{210}{53 u^{\frac{53}{3}}} - \frac{126}{55 u^{\frac{55}{3}}} - \frac{6}{59 u^{\frac{59}{3}}}

        Por lo tanto, el resultado es: 215u15+7017u17+1419u19+4247u473+187u493+21053u533+12655u553+659u593\frac{2}{15 u^{15}} + \frac{70}{17 u^{17}} + \frac{14}{19 u^{19}} + \frac{42}{47 u^{\frac{47}{3}}} + \frac{18}{7 u^{\frac{49}{3}}} + \frac{210}{53 u^{\frac{53}{3}}} + \frac{126}{55 u^{\frac{55}{3}}} + \frac{6}{59 u^{\frac{59}{3}}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      6x59659+126x55655+210x53653+18x4967+42x47647+14x19219+70x17217+2x15215\frac{6 x^{\frac{59}{6}}}{59} + \frac{126 x^{\frac{55}{6}}}{55} + \frac{210 x^{\frac{53}{6}}}{53} + \frac{18 x^{\frac{49}{6}}}{7} + \frac{42 x^{\frac{47}{6}}}{47} + \frac{14 x^{\frac{19}{2}}}{19} + \frac{70 x^{\frac{17}{2}}}{17} + \frac{2 x^{\frac{15}{2}}}{15}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x43+x)7x=x536+21x496+35x476+21x436+7x416+7x172+35x152+x132\frac{\left(x^{\frac{4}{3}} + x\right)^{7}}{\sqrt{x}} = x^{\frac{53}{6}} + 21 x^{\frac{49}{6}} + 35 x^{\frac{47}{6}} + 21 x^{\frac{43}{6}} + 7 x^{\frac{41}{6}} + 7 x^{\frac{17}{2}} + 35 x^{\frac{15}{2}} + x^{\frac{13}{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x536 dx=6x59659\int x^{\frac{53}{6}}\, dx = \frac{6 x^{\frac{59}{6}}}{59}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫21x496 dx=21∫x496 dx\int 21 x^{\frac{49}{6}}\, dx = 21 \int x^{\frac{49}{6}}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x496 dx=6x55655\int x^{\frac{49}{6}}\, dx = \frac{6 x^{\frac{55}{6}}}{55}

        Por lo tanto, el resultado es: 126x55655\frac{126 x^{\frac{55}{6}}}{55}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫35x476 dx=35∫x476 dx\int 35 x^{\frac{47}{6}}\, dx = 35 \int x^{\frac{47}{6}}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x476 dx=6x53653\int x^{\frac{47}{6}}\, dx = \frac{6 x^{\frac{53}{6}}}{53}

        Por lo tanto, el resultado es: 210x53653\frac{210 x^{\frac{53}{6}}}{53}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫21x436 dx=21∫x436 dx\int 21 x^{\frac{43}{6}}\, dx = 21 \int x^{\frac{43}{6}}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x436 dx=6x49649\int x^{\frac{43}{6}}\, dx = \frac{6 x^{\frac{49}{6}}}{49}

        Por lo tanto, el resultado es: 18x4967\frac{18 x^{\frac{49}{6}}}{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7x416 dx=7∫x416 dx\int 7 x^{\frac{41}{6}}\, dx = 7 \int x^{\frac{41}{6}}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x416 dx=6x47647\int x^{\frac{41}{6}}\, dx = \frac{6 x^{\frac{47}{6}}}{47}

        Por lo tanto, el resultado es: 42x47647\frac{42 x^{\frac{47}{6}}}{47}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7x172 dx=7∫x172 dx\int 7 x^{\frac{17}{2}}\, dx = 7 \int x^{\frac{17}{2}}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x172 dx=2x19219\int x^{\frac{17}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{19}{2}}}{19}

        Por lo tanto, el resultado es: 14x19219\frac{14 x^{\frac{19}{2}}}{19}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫35x152 dx=35∫x152 dx\int 35 x^{\frac{15}{2}}\, dx = 35 \int x^{\frac{15}{2}}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x152 dx=2x17217\int x^{\frac{15}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{17}{2}}}{17}

        Por lo tanto, el resultado es: 70x17217\frac{70 x^{\frac{17}{2}}}{17}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x132 dx=2x15215\int x^{\frac{13}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{15}{2}}}{15}

      El resultado es: 6x59659+126x55655+210x53653+18x4967+42x47647+14x19219+70x17217+2x15215\frac{6 x^{\frac{59}{6}}}{59} + \frac{126 x^{\frac{55}{6}}}{55} + \frac{210 x^{\frac{53}{6}}}{53} + \frac{18 x^{\frac{49}{6}}}{7} + \frac{42 x^{\frac{47}{6}}}{47} + \frac{14 x^{\frac{19}{2}}}{19} + \frac{70 x^{\frac{17}{2}}}{17} + \frac{2 x^{\frac{15}{2}}}{15}

  2. Añadimos la constante de integración:

    6x59659+126x55655+210x53653+18x4967+42x47647+14x19219+70x17217+2x15215+constant\frac{6 x^{\frac{59}{6}}}{59} + \frac{126 x^{\frac{55}{6}}}{55} + \frac{210 x^{\frac{53}{6}}}{53} + \frac{18 x^{\frac{49}{6}}}{7} + \frac{42 x^{\frac{47}{6}}}{47} + \frac{14 x^{\frac{19}{2}}}{19} + \frac{70 x^{\frac{17}{2}}}{17} + \frac{2 x^{\frac{15}{2}}}{15}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

6x59659+126x55655+210x53653+18x4967+42x47647+14x19219+70x17217+2x15215+constant\frac{6 x^{\frac{59}{6}}}{59} + \frac{126 x^{\frac{55}{6}}}{55} + \frac{210 x^{\frac{53}{6}}}{53} + \frac{18 x^{\frac{49}{6}}}{7} + \frac{42 x^{\frac{47}{6}}}{47} + \frac{14 x^{\frac{19}{2}}}{19} + \frac{70 x^{\frac{17}{2}}}{17} + \frac{2 x^{\frac{15}{2}}}{15}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                          
 |                                                                                                           
 |           7                                                                                               
 | / 4/3    \              15/2      59/6       19/2       49/6       47/6       17/2        55/6        53/6
 | \x    + x/           2*x       6*x       14*x       18*x       42*x       70*x       126*x       210*x    
 | ----------- dx = C + ------- + ------- + -------- + -------- + -------- + -------- + --------- + ---------
 |      ___                15        59        19         7          47         17          55          53   
 |    \/ x                                                                                                   
 |                                                                                                           
/
∫(x43+x)7x dx=C+6x59659+126x55655+210x53653+18x4967+42x47647+14x19219+70x17217+2x15215\int \frac{\left(x^{\frac{4}{3}} + x\right)^{7}}{\sqrt{x}}\, dx = C + \frac{6 x^{\frac{59}{6}}}{59} + \frac{126 x^{\frac{55}{6}}}{55} + \frac{210 x^{\frac{53}{6}}}{53} + \frac{18 x^{\frac{49}{6}}}{7} + \frac{42 x^{\frac{47}{6}}}{47} + \frac{14 x^{\frac{19}{2}}}{19} + \frac{70 x^{\frac{17}{2}}}{17} + \frac{2 x^{\frac{15}{2}}}{15}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900200
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta numérica [src] 
14.8077362472319
14.8077362472319

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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