Integral de x(4-3x^2)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 - 3 x^{2}$.

      Luego que $du = - 6 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{6}$:

      $\int \left(- \frac{u^{3}}{6}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{3}\, du = - \frac{\int u^{3}\, du}{6}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{24}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(4 - 3 x^{2}\right)^{4}}{24}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(4 - 3 x^{2}\right)^{3} = - 27 x^{7} + 108 x^{5} - 144 x^{3} + 64 x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 27 x^{7}\right)\, dx = - 27 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{27 x^{8}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 108 x^{5}\, dx = 108 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $18 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 144 x^{3}\right)\, dx = - 144 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 36 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 64 x\, dx = 64 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $32 x^{2}$

      El resultado es: $- \frac{27 x^{8}}{8} + 18 x^{6} - 36 x^{4} + 32 x^{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(3 x^{2} - 4\right)^{4}}{24}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(3 x^{2} - 4\right)^{4}}{24}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(3 x^{2} - 4\right)^{4}}{24}+ \mathrm{constant}$