Integral de x√x*(2/x)+4/(x^2+9) dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \sqrt{x}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $4 du$:

         $\int 4 u^{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2}\, du = 4 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Método #2

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- 2 du$:

         $\int \left(- 2 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{2}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{2}}\, du = - 2 \int \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{2}}\, du$

            1. que $u = \frac{1}{u}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \sqrt{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sqrt{u}\, du = - \int \sqrt{u}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{2 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{4}{x^{2} + 9}\, dx = 4 \int \frac{1}{x^{2} + 9}\, dx$

      PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=9, context=1/(x**2 + 9), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=9, context=1/(x**2 + 9), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=9, context=1/(x**2 + 9), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 9), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

   El resultado es: $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$