Integral de x^3*(1+x)/4*(-x/2-3*x^2/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{3 u^{6}}{8} - \frac{u^{5}}{2} + \frac{u^{4}}{8}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 u^{6}}{8}\, du = \frac{3 \int u^{6}\, du}{8}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{7}}{56}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{u^{5}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{5}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{12}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{4}}{8}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{8}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{40}$

         El resultado es: $\frac{3 u^{7}}{56} - \frac{u^{6}}{12} + \frac{u^{5}}{40}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{3 x^{7}}{56} - \frac{x^{6}}{12} - \frac{x^{5}}{40}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3} \left(x + 1\right)}{4} \left(\frac{\left(-1\right) x}{2} - \frac{3 x^{2}}{2}\right) = - \frac{3 x^{6}}{8} - \frac{x^{5}}{2} - \frac{x^{4}}{8}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{3 x^{6}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int x^{6}\, dx}{8}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{7}}{56}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{5}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x^{5}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{6}}{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{4}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int x^{4}\, dx}{8}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{5}}{40}$

      El resultado es: $- \frac{3 x^{7}}{56} - \frac{x^{6}}{12} - \frac{x^{5}}{40}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{x^{5} \left(45 x^{2} + 70 x + 21\right)}{840}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{5} \left(45 x^{2} + 70 x + 21\right)}{840}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{5} \left(45 x^{2} + 70 x + 21\right)}{840}+ \mathrm{constant}$