Integral de tgx^7sec^4x dx

Solución

Ha introducido [src]

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 |     7       4      
 |  tan (x)*sec (x) dx
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0

$$\int\limits_{0}^{1} \tan^{7}{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}\, dx$$

Integral(tan(x)^7*sec(x)^4, (x, 0, 1))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\tan^{7}{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{3} \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \sec^{2}{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(\frac{u^{4}}{2} - \frac{3 u^{3}}{2} + \frac{3 u^{2}}{2} - \frac{u}{2}\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{u^{4}}{2}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{2}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{10}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{3 u^{3}}{2}\right)\, du = - \frac{3 \int u^{3}\, du}{2}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{4}}{8}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{3 u^{2}}{2}\, du = \frac{3 \int u^{2}\, du}{2}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{2}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{2}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{4}$
    El resultado es: $\frac{u^{5}}{10} - \frac{3 u^{4}}{8} + \frac{u^{3}}{2} - \frac{u^{2}}{4}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{\sec^{10}{\left(x \right)}}{10} - \frac{3 \sec^{8}{\left(x \right)}}{8} + \frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{3} \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{10}{\left(x \right)} - 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{8}{\left(x \right)} + 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{6}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \sec{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int u^{9}\, du$
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sec^{10}{\left(x \right)}}{10}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{8}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{8}{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sec{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{7}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sec^{8}{\left(x \right)}}{8}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sec^{8}{\left(x \right)}}{8}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{6}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{6}{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sec{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{5}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{6}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{2}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sec{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{3}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}$
  El resultado es: $\frac{\sec^{10}{\left(x \right)}}{10} - \frac{3 \sec^{8}{\left(x \right)}}{8} + \frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{3} \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{10}{\left(x \right)} - 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{8}{\left(x \right)} + 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{6}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \sec{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int u^{9}\, du$
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sec^{10}{\left(x \right)}}{10}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{8}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{8}{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sec{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{7}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sec^{8}{\left(x \right)}}{8}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sec^{8}{\left(x \right)}}{8}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{6}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{6}{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sec{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{5}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{6}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{2}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sec{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{3}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}$
  El resultado es: $\frac{\sec^{10}{\left(x \right)}}{10} - \frac{3 \sec^{8}{\left(x \right)}}{8} + \frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}$
Ahora simplificar:

$\frac{\left(4 \sec^{6}{\left(x \right)} - 15 \sec^{4}{\left(x \right)} + 20 \sec^{2}{\left(x \right)} - 10\right) \sec^{4}{\left(x \right)}}{40}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\left(4 \sec^{6}{\left(x \right)} - 15 \sec^{4}{\left(x \right)} + 20 \sec^{2}{\left(x \right)} - 10\right) \sec^{4}{\left(x \right)}}{40}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(4 \sec^{6}{\left(x \right)} - 15 \sec^{4}{\left(x \right)} + 20 \sec^{2}{\left(x \right)} - 10\right) \sec^{4}{\left(x \right)}}{40}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                 
 |                             6           8         4         10   
 |    7       4             sec (x)   3*sec (x)   sec (x)   sec  (x)
 | tan (x)*sec (x) dx = C + ------- - --------- - ------- + --------
 |                             2          8          4         10   
/

$$\int \tan^{7}{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\sec^{10}{\left(x \right)}}{10} - \frac{3 \sec^{8}{\left(x \right)}}{8} + \frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

                4            6            2   
1    -4 - 20*cos (1) + 10*cos (1) + 15*cos (1)
-- - -----------------------------------------
40                        10                  
                    40*cos  (1)

$$\frac{1}{40} - \frac{-4 - 20 \cos^{4}{\left(1 \right)} + 10 \cos^{6}{\left(1 \right)} + 15 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{40 \cos^{10}{\left(1 \right)}}$$

                4            6            2   
1    -4 - 20*cos (1) + 10*cos (1) + 15*cos (1)
-- - -----------------------------------------
40                        10                  
                    40*cos  (1)

$$\frac{1}{40} - \frac{-4 - 20 \cos^{4}{\left(1 \right)} + 10 \cos^{6}{\left(1 \right)} + 15 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{40 \cos^{10}{\left(1 \right)}}$$

1/40 - (-4 - 20*cos(1)^4 + 10*cos(1)^6 + 15*cos(1)^2)/(40*cos(1)^10)

Respuesta numérica [src]

12.7214684874328

12.7214684874328

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de tgx^7sec^4x dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3