Integral de (1/2)*(x-1/12)*(x-1/12) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x - \frac{1}{12}$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{2}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x - \frac{1}{12}\right)^{3}}{6}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x - \frac{1}{12}}{2} \left(x - \frac{1}{12}\right) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{12} + \frac{1}{288}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{2}}{2}\, dx = \frac{\int x^{2}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x}{12}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{12}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{24}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{288}\, dx = \frac{x}{288}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{24} + \frac{x}{288}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(12 x - 1\right)^{3}}{10368}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(12 x - 1\right)^{3}}{10368}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(12 x - 1\right)^{3}}{10368}+ \mathrm{constant}$