Integral de x/(2+x)^(1/2) dx

1. que $u = \sqrt{x + 2}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 2}}$ y ponemos $du$:

   $\int \left(2 u^{2} - 4\right)\, du$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-4\right)\, du = - 4 u$

      El resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} - 4 u$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 4 \sqrt{x + 2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(x - 4\right) \sqrt{x + 2}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(x - 4\right) \sqrt{x + 2}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(x - 4\right) \sqrt{x + 2}}{3}+ \mathrm{constant}$