Integral de (x⁴-3x²+4)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{2} - 3 u + 4}{2 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{2} - 3 u + 4}{u}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 3 u + 4}{u}\, du}{2}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2} - 3 u + 4}{u} = u - 3 + \frac{4}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-3\right)\, du = - 3 u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{4}{u}\, du = 4 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} - 3 u + 4 \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4} - \frac{3 u}{2} + 2 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 \log{\left(x^{2} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x^{4} - 3 x^{2}\right) + 4}{x} = x^{3} - 3 x + \frac{4}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x\right)\, dx = - 3 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4}{x}\, dx = 4 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + 4 \log{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 \log{\left(x^{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 \log{\left(x^{2} \right)}+ \mathrm{constant}$