Integral de e^x/(1+e^x)^5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{u^{5} + 5 u^{4} + 10 u^{3} + 10 u^{2} + 5 u + 1}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{u^{5} + 5 u^{4} + 10 u^{3} + 10 u^{2} + 5 u + 1} = \frac{1}{\left(u + 1\right)^{5}}$

      2. que $u = u + 1$.

         Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{4 \left(u + 1\right)^{4}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{4 \left(e^{x} + 1\right)^{4}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{5}} = \frac{e^{x}}{e^{5 x} + 5 e^{4 x} + 10 e^{3 x} + 10 e^{2 x} + 5 e^{x} + 1}$

   2. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{u^{5} + 5 u^{4} + 10 u^{3} + 10 u^{2} + 5 u + 1}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{u^{5} + 5 u^{4} + 10 u^{3} + 10 u^{2} + 5 u + 1} = \frac{1}{\left(u + 1\right)^{5}}$

      2. que $u = u + 1$.

         Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{4 \left(u + 1\right)^{4}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{4 \left(e^{x} + 1\right)^{4}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{5}} = \frac{e^{x}}{e^{5 x} + 5 e^{4 x} + 10 e^{3 x} + 10 e^{2 x} + 5 e^{x} + 1}$

   2. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{u^{5} + 5 u^{4} + 10 u^{3} + 10 u^{2} + 5 u + 1}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{u^{5} + 5 u^{4} + 10 u^{3} + 10 u^{2} + 5 u + 1} = \frac{1}{\left(u + 1\right)^{5}}$

      2. que $u = u + 1$.

         Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{4 \left(u + 1\right)^{4}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{4 \left(e^{x} + 1\right)^{4}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{1}{4 \left(e^{x} + 1\right)^{4}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{4 \left(e^{x} + 1\right)^{4}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{4 \left(e^{x} + 1\right)^{4}}+ \mathrm{constant}$