Integral de (1-2*x^3)*x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{1}{3} - \frac{2 u}{3}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2 u}{3}\right)\, du = - \frac{2 \int u\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{3}$

         El resultado es: $- \frac{u^{2}}{3} + \frac{u}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x^{6}}{3} + \frac{x^{3}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \left(1 - 2 x^{3}\right) = - 2 x^{5} + x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x^{5}\right)\, dx = - 2 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{6}}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      El resultado es: $- \frac{x^{6}}{3} + \frac{x^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{3} \left(1 - x^{3}\right)}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \left(1 - x^{3}\right)}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \left(1 - x^{3}\right)}{3}+ \mathrm{constant}$