Sr Examen
Integral de (x+1)/(x^2+6*x+25) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | x + 1 | ------------- dx | 2 | x + 6*x + 25 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x + 1}{\left(x^{2} + 6 x\right) + 25}\, dx$$
Integral((x + 1)/(x^2 + 6*x + 25), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | x + 1 | ------------- dx | 2 | x + 6*x + 25 | /
Reescribimos la función subintegral
/ 2*x + 6 \
|-------------| /-2 \
| 2 | |---|
x + 1 \x + 6*x + 25/ \ 16/
------------- = --------------- + --------------
2 2 2
x + 6*x + 25 / x 3\
|- - - -| + 1
\ 4 4/ o
/ | | x + 1 | ------------- dx | 2 = | x + 6*x + 25 | /
/
|
/ | 1
| | -------------- dx
| 2*x + 6 | 2
| ------------- dx | / x 3\
| 2 | |- - - -| + 1
| x + 6*x + 25 | \ 4 4/
| |
/ /
------------------- - --------------------
2 8 En integral
/
|
| 2*x + 6
| ------------- dx
| 2
| x + 6*x + 25
|
/
-------------------
2 hacemos el cambio
2 u = x + 6*x
entonces
integral =
/
|
| 1
| ------ du
| 25 + u
|
/ log(25 + u)
------------ = -----------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*x + 6
| ------------- dx
| 2
| x + 6*x + 25
| / 2 \
/ log\25 + x + 6*x/
------------------- = ------------------
2 2 En integral
/
|
| 1
- | -------------- dx
| 2
| / x 3\
| |- - - -| + 1
| \ 4 4/
|
/
----------------------
8 hacemos el cambio
3 x
v = - - - -
4 4entonces
integral =
/
|
| 1
- | ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ -atan(v)
-------------- = ---------
8 8 hacemos cambio inverso
/
|
| 1
- | -------------- dx
| 2
| / x 3\
| |- - - -| + 1
| \ 4 4/ /3 x\
| -atan|- + -|
/ \4 4/
---------------------- = -------------
8 2 La solución:
/3 x\
/ 2 \ atan|- + -|
log\25 + x + 6*x/ \4 4/
C + ------------------ - -----------
2 2
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ /3 x\ | / 2 \ atan|- + -| | x + 1 log\25 + x + 6*x/ \4 4/ | ------------- dx = C + ------------------ - ----------- | 2 2 2 | x + 6*x + 25 | /
$$\int \frac{x + 1}{\left(x^{2} + 6 x\right) + 25}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} + 6 x + 25 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{4} + \frac{3}{4} \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
atan(3/4) log(32) log(25) pi
--------- + ------- - ------- - --
2 2 2 8
$$- \frac{\log{\left(25 \right)}}{2} - \frac{\pi}{8} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(32 \right)}}{2}$$
=
=
atan(3/4) log(32) log(25) pi
--------- + ------- - ------- - --
2 2 2 8
$$- \frac{\log{\left(25 \right)}}{2} - \frac{\pi}{8} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(32 \right)}}{2}$$
atan(3/4)/2 + log(32)/2 - log(25)/2 - pi/8
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.