Integral de x√(9-3*9*x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 9 - 27 x^{2}$.

      Luego que $du = - 54 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{54}$:

      $\int \left(- \frac{\sqrt{u}}{54}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = - \frac{\int \sqrt{u}\, du}{54}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{81}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(9 - 27 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{81}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \sqrt{9 - 27 x^{2}} = 3 x \sqrt{1 - 3 x^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 x \sqrt{1 - 3 x^{2}}\, dx = 3 \int x \sqrt{1 - 3 x^{2}}\, dx$

      1. que $u = 1 - 3 x^{2}$.

         Luego que $du = - 6 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{6}$:

         $\int \left(- \frac{\sqrt{u}}{6}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = - \frac{\int \sqrt{u}\, du}{6}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{9}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\left(1 - 3 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(1 - 3 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(1 - 3 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(1 - 3 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(1 - 3 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$