Integral de (4x-5)^6 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 x - 5$.

      Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{u^{6}}{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{6}\, du = \frac{\int u^{6}\, du}{4}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{7}}{28}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(4 x - 5\right)^{7}}{28}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(4 x - 5\right)^{6} = 4096 x^{6} - 30720 x^{5} + 96000 x^{4} - 160000 x^{3} + 150000 x^{2} - 75000 x + 15625$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4096 x^{6}\, dx = 4096 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4096 x^{7}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 30720 x^{5}\right)\, dx = - 30720 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 5120 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 96000 x^{4}\, dx = 96000 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $19200 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 160000 x^{3}\right)\, dx = - 160000 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 40000 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 150000 x^{2}\, dx = 150000 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $50000 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 75000 x\right)\, dx = - 75000 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 37500 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 15625\, dx = 15625 x$

      El resultado es: $\frac{4096 x^{7}}{7} - 5120 x^{6} + 19200 x^{5} - 40000 x^{4} + 50000 x^{3} - 37500 x^{2} + 15625 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(4 x - 5\right)^{7}}{28}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(4 x - 5\right)^{7}}{28}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(4 x - 5\right)^{7}}{28}+ \mathrm{constant}$