Integral de (4x-2)^5dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 x - 2$.

      Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{u^{5}}{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{5}\, du = \frac{\int u^{5}\, du}{4}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{6}}{24}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(4 x - 2\right)^{6}}{24}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(4 x - 2\right)^{5} = 1024 x^{5} - 2560 x^{4} + 2560 x^{3} - 1280 x^{2} + 320 x - 32$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1024 x^{5}\, dx = 1024 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{512 x^{6}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2560 x^{4}\right)\, dx = - 2560 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 512 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2560 x^{3}\, dx = 2560 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $640 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1280 x^{2}\right)\, dx = - 1280 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1280 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 320 x\, dx = 320 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $160 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-32\right)\, dx = - 32 x$

      El resultado es: $\frac{512 x^{6}}{3} - 512 x^{5} + 640 x^{4} - \frac{1280 x^{3}}{3} + 160 x^{2} - 32 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{8 \left(2 x - 1\right)^{6}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{8 \left(2 x - 1\right)^{6}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{8 \left(2 x - 1\right)^{6}}{3}+ \mathrm{constant}$