Integral de x(x+3)^10 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x \left(x + 3\right)^{10} = x^{11} + 30 x^{10} + 405 x^{9} + 3240 x^{8} + 17010 x^{7} + 61236 x^{6} + 153090 x^{5} + 262440 x^{4} + 295245 x^{3} + 196830 x^{2} + 59049 x$

2. Integramos término a término:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 30 x^{10}\, dx = 30 \int x^{10}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{30 x^{11}}{11}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 405 x^{9}\, dx = 405 \int x^{9}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{81 x^{10}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3240 x^{8}\, dx = 3240 \int x^{8}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $360 x^{9}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 17010 x^{7}\, dx = 17010 \int x^{7}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8505 x^{8}}{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 61236 x^{6}\, dx = 61236 \int x^{6}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $8748 x^{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 153090 x^{5}\, dx = 153090 \int x^{5}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $25515 x^{6}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 262440 x^{4}\, dx = 262440 \int x^{4}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $52488 x^{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 295245 x^{3}\, dx = 295245 \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{295245 x^{4}}{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 196830 x^{2}\, dx = 196830 \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $65610 x^{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 59049 x\, dx = 59049 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{59049 x^{2}}{2}$

   El resultado es: $\frac{x^{12}}{12} + \frac{30 x^{11}}{11} + \frac{81 x^{10}}{2} + 360 x^{9} + \frac{8505 x^{8}}{4} + 8748 x^{7} + 25515 x^{6} + 52488 x^{5} + \frac{295245 x^{4}}{4} + 65610 x^{3} + \frac{59049 x^{2}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(11 x^{10} + 360 x^{9} + 5346 x^{8} + 47520 x^{7} + 280665 x^{6} + 1154736 x^{5} + 3367980 x^{4} + 6928416 x^{3} + 9743085 x^{2} + 8660520 x + 3897234\right)}{132}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(11 x^{10} + 360 x^{9} + 5346 x^{8} + 47520 x^{7} + 280665 x^{6} + 1154736 x^{5} + 3367980 x^{4} + 6928416 x^{3} + 9743085 x^{2} + 8660520 x + 3897234\right)}{132}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(11 x^{10} + 360 x^{9} + 5346 x^{8} + 47520 x^{7} + 280665 x^{6} + 1154736 x^{5} + 3367980 x^{4} + 6928416 x^{3} + 9743085 x^{2} + 8660520 x + 3897234\right)}{132}+ \mathrm{constant}$