Integral de x^nln(x) dx

Solución

Ha introducido [src]

  x             
  /             
 |              
 |   n          
 |  x *log(x) dx
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{x} x^{n} \log{\left(x \right)}\, dx$$

Integral(x^n*log(x), (x, 0, x))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{n}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
  
  $\int x^{n}\, dx = \begin{cases} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} & \text{for}\: n \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}$
Ahora resolvemos podintegral.
No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

Pero la integral

$\begin{cases} \frac{\begin{cases} \frac{x x^{n}}{n + 1} & \text{for}\: n \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}}{n + 1} & \text{for}\: n > -\infty \wedge n < \infty \wedge n \neq -1 \\\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} & \text{otherwese} \end{cases}$
Ahora simplificar:

$\begin{cases} \frac{x^{n + 1} \left(- n + \left(n + 1\right)^{2} \log{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(n + 1\right)^{3}} & \text{for}\: n > -\infty \wedge n < \infty \wedge n \neq -1 \\\frac{\left(2 x^{n + 1} - \left(n + 1\right) \log{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \right)}}{2 \left(n + 1\right)} & \text{for}\: n \neq -1 \\\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} & \text{otherwese} \end{cases}$
Añadimos la constante de integración:

$\begin{cases} \frac{x^{n + 1} \left(- n + \left(n + 1\right)^{2} \log{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(n + 1\right)^{3}} & \text{for}\: n > -\infty \wedge n < \infty \wedge n \neq -1 \\\frac{\left(2 x^{n + 1} - \left(n + 1\right) \log{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \right)}}{2 \left(n + 1\right)} & \text{for}\: n \neq -1 \\\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{x^{n + 1} \left(- n + \left(n + 1\right)^{2} \log{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(n + 1\right)^{3}} & \text{for}\: n > -\infty \wedge n < \infty \wedge n \neq -1 \\\frac{\left(2 x^{n + 1} - \left(n + 1\right) \log{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \right)}}{2 \left(n + 1\right)} & \text{for}\: n \neq -1 \\\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                      ///    n                                                 \                                
                      ||| x*x                                                  |                                
                      |||-----   for n != -1                                   |                                
                      ||<1 + n                                                 |                                
  /                   |||                                                      |   // 1 + n             \       
 |                    |||log(x)   otherwise                                    |   ||x                  |       
 |  n                 ||\                                                      |   ||------  for n != -1|       
 | x *log(x) dx = C - |<--------------------  for And(n > -oo, n < oo, n != -1)| + |<1 + n              |*log(x)
 |                    ||       1 + n                                           |   ||                   |       
/                     ||                                                       |   ||log(x)   otherwise |       
                      ||         2                                             |   \\                   /       
                      ||      log (x)                                          |                                
                      ||      -------                     otherwise            |                                
                      ||         2                                             |                                
                      \\                                                       /

$$\int x^{n} \log{\left(x \right)}\, dx = C + \left(\begin{cases} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} & \text{for}\: n \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwise} \end{cases}\right) \log{\left(x \right)} - \begin{cases} \frac{\begin{cases} \frac{x x^{n}}{n + 1} & \text{for}\: n \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwise} \end{cases}}{n + 1} & \text{for}\: n > -\infty \wedge n < \infty \wedge n \neq -1 \\\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} & \text{otherwise} \end{cases}$$

Simplificar

Respuesta [src]

  x             
  /             
 |              
 |   n          
 |  x *log(x) dx
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{x} x^{n} \log{\left(x \right)}\, dx$$

  x             
  /             
 |              
 |   n          
 |  x *log(x) dx
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{x} x^{n} \log{\left(x \right)}\, dx$$

Integral(x^n*log(x), (x, 0, x))

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Integral de x^nln(x) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución