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Resolución de integrales/ ((e^(2x)sin2x)/2)-e^(2x)(sint)^2

Integral de ((e^(2x)sin2x)/2)-e^(2x)(sint)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 log(pi)                                 
    /                                    
   |                                     
   |    / 2*x                        \   
   |    |E   *sin(2*x)    2*x    2   |   
   |    |------------- - E   *sin (t)| dx
   |    \      2                     /   
   |                                     
  /                                      
  0
∫0log⁡(π)(e2xsin⁡(2x)2−e2xsin⁡2(t)) dx\int\limits_{0}^{\log{\left(\pi \right)}} \left(\frac{e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}}{2} - e^{2 x} \sin^{2}{\left(t \right)}\right)\, dx 
Integral((E^(2*x)*sin(2*x))/2 - E^(2*x)*sin(t)^2, (x, 0, log(pi)))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫e2xsin⁡(2x)2 dx=∫e2xsin⁡(2x) dx2\int \frac{e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫eusin⁡(u)2 du\int \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫eusin⁡(u) du=∫eusin⁡(u) du2\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

            1. Para el integrando eusin⁡(u)e^{u} \sin{\left(u \right)}:

              que u(u)=sin⁡(u)u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

              Entonces ∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)−∫eucos⁡(u) du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du.

            2. Para el integrando eucos⁡(u)e^{u} \cos{\left(u \right)}:

              que u(u)=cos⁡(u)u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

              Entonces ∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)−eucos⁡(u)+∫(−eusin⁡(u)) du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du.

            3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

              2∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)−eucos⁡(u)2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto,

              ∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)2−eucos⁡(u)2\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: eusin⁡(u)4−eucos⁡(u)4\frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{4} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e2xsin⁡(2x)4−e2xcos⁡(2x)4\frac{e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(2 x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: e2xsin⁡(2x)8−e2xcos⁡(2x)8\frac{e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(2 x \right)}}{8}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−e2xsin⁡2(t)) dx=−sin⁡2(t)∫e2x dx\int \left(- e^{2 x} \sin^{2}{\left(t \right)}\right)\, dx = - \sin^{2}{\left(t \right)} \int e^{2 x}\, dx

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −e2xsin⁡2(t)2- \frac{e^{2 x} \sin^{2}{\left(t \right)}}{2}

    El resultado es: −e2xsin⁡2(t)2+e2xsin⁡(2x)8−e2xcos⁡(2x)8- \frac{e^{2 x} \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} + \frac{e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(2 x \right)}}{8}

  2. Ahora simplificar:

    (2cos⁡(2t)−2cos⁡(2x+π4)−2)e2x8\frac{\left(2 \cos{\left(2 t \right)} - \sqrt{2} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} - 2\right) e^{2 x}}{8}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (2cos⁡(2t)−2cos⁡(2x+π4)−2)e2x8+constant\frac{\left(2 \cos{\left(2 t \right)} - \sqrt{2} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} - 2\right) e^{2 x}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(2cos⁡(2t)−2cos⁡(2x+π4)−2)e2x8+constant\frac{\left(2 \cos{\left(2 t \right)} - \sqrt{2} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} - 2\right) e^{2 x}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                    
 |                                                                                     
 | / 2*x                        \             2     2*x             2*x    2*x         
 | |E   *sin(2*x)    2*x    2   |          sin (t)*e      cos(2*x)*e      e   *sin(2*x)
 | |------------- - E   *sin (t)| dx = C - ------------ - ------------- + -------------
 | \      2                     /               2               8               8      
 |                                                                                     
/
∫(e2xsin⁡(2x)2−e2xsin⁡2(t)) dx=C−e2xsin⁡2(t)2+e2xsin⁡(2x)8−e2xcos⁡(2x)8\int \left(\frac{e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}}{2} - e^{2 x} \sin^{2}{\left(t \right)}\right)\, dx = C - \frac{e^{2 x} \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} + \frac{e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(2 x \right)}}{8}
Simplificar
Respuesta [src] 
       2        2    2        2                    2               
1   sin (t)   pi *sin (t)   pi *cos(2*log(pi))   pi *sin(2*log(pi))
- + ------- - ----------- - ------------------ + ------------------
8      2           2                8                    8
−π2sin⁡2(t)2+sin⁡2(t)2+18−π2cos⁡(2log⁡(π))8+π2sin⁡(2log⁡(π))8- \frac{\pi^{2} \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} + \frac{\sin^{2}{\left(t \right)}}{2} + \frac{1}{8} - \frac{\pi^{2} \cos{\left(2 \log{\left(\pi \right)} \right)}}{8} + \frac{\pi^{2} \sin{\left(2 \log{\left(\pi \right)} \right)}}{8} 
=
= 
       2        2    2        2                    2               
1   sin (t)   pi *sin (t)   pi *cos(2*log(pi))   pi *sin(2*log(pi))
- + ------- - ----------- - ------------------ + ------------------
8      2           2                8                    8
−π2sin⁡2(t)2+sin⁡2(t)2+18−π2cos⁡(2log⁡(π))8+π2sin⁡(2log⁡(π))8- \frac{\pi^{2} \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} + \frac{\sin^{2}{\left(t \right)}}{2} + \frac{1}{8} - \frac{\pi^{2} \cos{\left(2 \log{\left(\pi \right)} \right)}}{8} + \frac{\pi^{2} \sin{\left(2 \log{\left(\pi \right)} \right)}}{8} 
1/8 + sin(t)^2/2 - pi^2*sin(t)^2/2 - pi^2*cos(2*log(pi))/8 + pi^2*sin(2*log(pi))/8

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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