Integral de (x^2)/(x+1)^1/3 dx

1. que $u = \sqrt[3]{x + 1}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{3 \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $3 du$:

   $\int 3 u \left(u^{3} - 1\right)^{2}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int u \left(u^{3} - 1\right)^{2}\, du = 3 \int u \left(u^{3} - 1\right)^{2}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $u \left(u^{3} - 1\right)^{2} = u^{7} - 2 u^{4} + u$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u^{4}\right)\, du = - 2 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{5}}{5}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{8}}{8} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{u^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{8}}{8} - \frac{6 u^{5}}{5} + \frac{3 u^{2}}{2}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{8}{3}}}{8} - \frac{6 \left(x + 1\right)^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}} \left(5 x^{2} - 6 x + 9\right)}{40}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}} \left(5 x^{2} - 6 x + 9\right)}{40}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}} \left(5 x^{2} - 6 x + 9\right)}{40}+ \mathrm{constant}$