Integral de (e^x-x^3)/(x^3*e^x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x} - x^{3}}{e^{x} x^{3}} = - \frac{\left(x^{3} - e^{x}\right) e^{- x}}{x^{3}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\left(x^{3} - e^{x}\right) e^{- x}}{x^{3}}\right)\, dx = - \int \frac{\left(x^{3} - e^{x}\right) e^{- x}}{x^{3}}\, dx$

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{u^{3} e^{u} + 1}{u^{3}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{3} e^{u} + 1}{u^{3}}\, du = - \int \frac{u^{3} e^{u} + 1}{u^{3}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u^{3} e^{u} + 1}{u^{3}} = e^{u} + \frac{1}{u^{3}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               El resultado es: $e^{u} - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u} + \frac{1}{2 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- e^{- x} + \frac{1}{2 x^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $e^{- x} - \frac{1}{2 x^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x} - x^{3}}{e^{x} x^{3}} = - e^{- x} + \frac{1}{x^{3}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- e^{- x}\right)\, dx = - \int e^{- x}\, dx$

         1. que $u = - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- e^{- x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $e^{- x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

      El resultado es: $e^{- x} - \frac{1}{2 x^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $e^{- x} - \frac{1}{2 x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$e^{- x} - \frac{1}{2 x^{2}}+ \mathrm{constant}$