Integral de (x+2)^3/x^5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{x^{5}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}} + \frac{12}{x^{4}} + \frac{8}{x^{5}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{6}{x^{3}}\, dx = 6 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{x^{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{12}{x^{4}}\, dx = 12 \int \frac{1}{x^{4}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{4}}\, dx = - \frac{1}{3 x^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{x^{3}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8}{x^{5}}\, dx = 8 \int \frac{1}{x^{5}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{5}}\, dx = - \frac{1}{4 x^{4}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{x^{4}}$

      El resultado es: $- \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - \frac{4}{x^{3}} - \frac{2}{x^{4}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{x^{5}} = \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8}{x^{5}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8}{x^{5}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}} + \frac{12}{x^{4}} + \frac{8}{x^{5}}$

   3. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{6}{x^{3}}\, dx = 6 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{x^{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{12}{x^{4}}\, dx = 12 \int \frac{1}{x^{4}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{4}}\, dx = - \frac{1}{3 x^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{x^{3}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8}{x^{5}}\, dx = 8 \int \frac{1}{x^{5}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{5}}\, dx = - \frac{1}{4 x^{4}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{x^{4}}$

      El resultado es: $- \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - \frac{4}{x^{3}} - \frac{2}{x^{4}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 2}{x^{4}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 2}{x^{4}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 2}{x^{4}}+ \mathrm{constant}$