Integral de 1/(4-3x)^7 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(4 - 3 x\right)^{7}} = - \frac{1}{\left(3 x - 4\right)^{7}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{\left(3 x - 4\right)^{7}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(3 x - 4\right)^{7}}\, dx$

      1. que $u = 3 x - 4$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{3 u^{7}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{7}}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = - \frac{1}{6 u^{6}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{18 u^{6}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{18 \left(3 x - 4\right)^{6}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{18 \left(3 x - 4\right)^{6}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(4 - 3 x\right)^{7}} = - \frac{1}{2187 x^{7} - 20412 x^{6} + 81648 x^{5} - 181440 x^{4} + 241920 x^{3} - 193536 x^{2} + 86016 x - 16384}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{2187 x^{7} - 20412 x^{6} + 81648 x^{5} - 181440 x^{4} + 241920 x^{3} - 193536 x^{2} + 86016 x - 16384}\right)\, dx = - \int \frac{1}{2187 x^{7} - 20412 x^{6} + 81648 x^{5} - 181440 x^{4} + 241920 x^{3} - 193536 x^{2} + 86016 x - 16384}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{2187 x^{7} - 20412 x^{6} + 81648 x^{5} - 181440 x^{4} + 241920 x^{3} - 193536 x^{2} + 86016 x - 16384} = \frac{1}{\left(3 x - 4\right)^{7}}$

      2. que $u = 3 x - 4$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{3 u^{7}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{7}}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = - \frac{1}{6 u^{6}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{18 u^{6}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{18 \left(3 x - 4\right)^{6}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{18 \left(3 x - 4\right)^{6}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(4 - 3 x\right)^{7}} = \frac{1}{- 2187 x^{7} + 20412 x^{6} - 81648 x^{5} + 181440 x^{4} - 241920 x^{3} + 193536 x^{2} - 86016 x + 16384}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{- 2187 x^{7} + 20412 x^{6} - 81648 x^{5} + 181440 x^{4} - 241920 x^{3} + 193536 x^{2} - 86016 x + 16384} = - \frac{1}{\left(3 x - 4\right)^{7}}$

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{\left(3 x - 4\right)^{7}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(3 x - 4\right)^{7}}\, dx$

      1. que $u = 3 x - 4$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{3 u^{7}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{7}}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = - \frac{1}{6 u^{6}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{18 u^{6}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{18 \left(3 x - 4\right)^{6}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{18 \left(3 x - 4\right)^{6}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{1}{18 \left(3 x - 4\right)^{6}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{1}{18 \left(3 x - 4\right)^{6}}+ \mathrm{constant}$