Integral de (x^(1/3)+2x-x^4)/x^5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{3 u^{11} - 6 u^{2} - 3}{u^{12}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 u^{11} - 6 u^{2} - 3}{u^{12}}\, du = - \int \frac{3 u^{11} - 6 u^{2} - 3}{u^{12}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{3 u^{11} - 6 u^{2} - 3}{u^{12}} = \frac{3}{u} - \frac{6}{u^{10}} - \frac{3}{u^{12}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3}{u}\, du = 3 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(u \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{6}{u^{10}}\right)\, du = - 6 \int \frac{1}{u^{10}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{10}}\, du = - \frac{1}{9 u^{9}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{3 u^{9}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{3}{u^{12}}\right)\, du = - 3 \int \frac{1}{u^{12}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{12}}\, du = - \frac{1}{11 u^{11}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{11 u^{11}}$

            El resultado es: $3 \log{\left(u \right)} + \frac{2}{3 u^{9}} + \frac{3}{11 u^{11}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(u \right)} - \frac{2}{3 u^{9}} - \frac{3}{11 u^{11}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 3 \log{\left(\sqrt[3]{x} \right)} - \frac{2}{3 x^{3}} - \frac{3}{11 x^{\frac{11}{3}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- x^{4} + \left(\sqrt[3]{x} + 2 x\right)}{x^{5}} = - \frac{- \sqrt[3]{x} + x^{4} - 2 x}{x^{5}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{- \sqrt[3]{x} + x^{4} - 2 x}{x^{5}}\right)\, dx = - \int \frac{- \sqrt[3]{x} + x^{4} - 2 x}{x^{5}}\, dx$

      1. que $u = - \sqrt[3]{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{3 u^{11} + 6 u^{2} + 3}{u^{12}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{3 u^{11} + 6 u^{2} + 3}{u^{12}} = \frac{3}{u} + \frac{6}{u^{10}} + \frac{3}{u^{12}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3}{u}\, du = 3 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(u \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{6}{u^{10}}\, du = 6 \int \frac{1}{u^{10}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{10}}\, du = - \frac{1}{9 u^{9}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{3 u^{9}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3}{u^{12}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{12}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{12}}\, du = - \frac{1}{11 u^{11}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{11 u^{11}}$

            El resultado es: $3 \log{\left(u \right)} - \frac{2}{3 u^{9}} - \frac{3}{11 u^{11}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $3 \log{\left(- \sqrt[3]{x} \right)} + \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{3}{11 x^{\frac{11}{3}}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(- \sqrt[3]{x} \right)} - \frac{2}{3 x^{3}} - \frac{3}{11 x^{\frac{11}{3}}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \log{\left(x \right)} - \frac{2}{3 x^{3}} - \frac{3}{11 x^{\frac{11}{3}}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \log{\left(x \right)} - \frac{2}{3 x^{3}} - \frac{3}{11 x^{\frac{11}{3}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \log{\left(x \right)} - \frac{2}{3 x^{3}} - \frac{3}{11 x^{\frac{11}{3}}}+ \mathrm{constant}$