Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (1-3*x)^(2/x)
-
Límite de -3+x
-
Límite de -7+5*x
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x*(cinco +x))-x
- raíz cuadrada de (x multiplicar por (5 más x)) menos x
- raíz cuadrada de (x multiplicar por (cinco más x)) menos x
- √(x*(5+x))-x
- sqrt(x(5+x))-x
- sqrtx5+x-x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x*(5+x))+x
- sqrt(x*(5-x))-x
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1+2*x)-sqrt(2+x)
- sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))/sqrt(1+x)
- sqrt(x)/log(3*x)
- sqrt(x)*log(2)^3/log(x)^3
- sqrt(1+x^2-4*x)-sqrt(x+x^2)
Límite de la función sqrt(x*(5+x))-x
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___________ \ lim \\/ x*(5 + x) - x/ x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right)$$
Limit(sqrt(x*(5 + x)) - x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right) \left(x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{x \left(x + 5\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x \left(x + 5\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x \left(x + 5\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{1 + \frac{\sqrt{x^{2} + 5 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{\frac{x + 5}{x}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5}{\sqrt{5 u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{5}{1 + \sqrt{0 \cdot 5 + 1}} = \frac{5}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right) = \frac{5}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right) \left(x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{x \left(x + 5\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x \left(x + 5\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x \left(x + 5\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{1 + \frac{\sqrt{x^{2} + 5 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{\frac{x + 5}{x}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5}{\sqrt{5 u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{5}{1 + \sqrt{0 \cdot 5 + 1}} = \frac{5}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right) = \frac{5}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right) = \frac{5}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right) = -1 + \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right) = -1 + \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right) = -1 + \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right) = -1 + \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 5\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico