Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{1 + \frac{4}{x}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x x^{\frac{4}{x}}}{3 x + 4}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x x^{\frac{4}{x}}}{3 x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x^{1 + \frac{4}{x}}}{\frac{d}{d x} \left(3 x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{1 + \frac{4}{x}} \left(\frac{1 + \frac{4}{x}}{x} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2 x^{1 + \frac{4}{x}}}{3}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\frac{1 + \frac{4}{x}}{x} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{x^{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{2 x^{\frac{4}{x}}}{3 x^{2}} - \frac{8 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}}{x^{3}} + \frac{8 x^{\frac{4}{x}}}{x^{3}} + \frac{32 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{4}} - \frac{64 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}}{x^{4}} + \frac{32 x^{\frac{4}{x}}}{x^{4}} - \frac{128 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}^{3}}{3 x^{5}} + \frac{128 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{5}} - \frac{128 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}}{x^{5}} + \frac{128 x^{\frac{4}{x}}}{3 x^{5}}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{8 \log{\left(x \right)}}{x^{3}} + \frac{12}{x^{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{2 x^{\frac{4}{x}}}{3 x^{2}} - \frac{8 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}}{x^{3}} + \frac{8 x^{\frac{4}{x}}}{x^{3}} + \frac{32 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{4}} - \frac{64 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}}{x^{4}} + \frac{32 x^{\frac{4}{x}}}{x^{4}} - \frac{128 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}^{3}}{3 x^{5}} + \frac{128 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{5}} - \frac{128 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}}{x^{5}} + \frac{128 x^{\frac{4}{x}}}{3 x^{5}}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{8 \log{\left(x \right)}}{x^{3}} + \frac{12}{x^{3}}}\right)$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)