Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- n*(dos +n)^(dos / tres)/(uno +n)^(cinco / tres)
- n multiplicar por (2 más n) en el grado (2 dividir por 3) dividir por (1 más n) en el grado (5 dividir por 3)
- n multiplicar por (dos más n) en el grado (dos dividir por tres) dividir por (uno más n) en el grado (cinco dividir por tres)
- n*(2+n)(2/3)/(1+n)(5/3)
- n*2+n2/3/1+n5/3
- n(2+n)^(2/3)/(1+n)^(5/3)
- n(2+n)(2/3)/(1+n)(5/3)
- n2+n2/3/1+n5/3
- n2+n^2/3/1+n^5/3
- n*(2+n)^(2 dividir por 3) dividir por (1+n)^(5 dividir por 3)
-
Expresiones semejantes
- n*(2+n)^(2/3)/(1-n)^(5/3)
- n*(2-n)^(2/3)/(1+n)^(5/3)
Límite de la función n*(2+n)^(2/3)/(1+n)^(5/3)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2/3\
|n*(2 + n) |
lim |------------|
n->oo| 5/3 |
\ (1 + n) /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{\left(n + 1\right)^{\frac{5}{3}}}\right)$$
Limit((n*(2 + n)^(2/3))/(1 + n)^(5/3), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}} + \frac{\left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{n}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{\left(n + 1\right)^{\frac{5}{3}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{\left(n + 1\right)^{\frac{5}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{\frac{d}{d n} \left(\left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}} + \frac{\left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{n}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2}{3 \sqrt[3]{n + 2} \left(\frac{2}{3 \sqrt[3]{n + 1}} + \frac{2}{3 n \sqrt[3]{n + 1}} - \frac{\left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{n^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{1}{\frac{2}{3 \sqrt[3]{n + 1}} + \frac{2}{3 n \sqrt[3]{n + 1}} - \frac{\left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{n^{2}}}}{\frac{d}{d n} \frac{3 \sqrt[3]{n + 2}}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}} \left(\frac{2}{9 \left(n + 1\right)^{\frac{4}{3}}} + \frac{2}{9 n \left(n + 1\right)^{\frac{4}{3}}} + \frac{4}{3 n^{2} \sqrt[3]{n + 1}} - \frac{2 \left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{n^{3}}\right)}{\left(\frac{2}{3 \sqrt[3]{n + 1}} + \frac{2}{3 n \sqrt[3]{n + 1}} - \frac{\left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{n^{2}}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}} \left(\frac{2}{9 \left(n + 1\right)^{\frac{4}{3}}} + \frac{2}{9 n \left(n + 1\right)^{\frac{4}{3}}} + \frac{4}{3 n^{2} \sqrt[3]{n + 1}} - \frac{2 \left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{n^{3}}\right)}{\left(\frac{2}{3 \sqrt[3]{n + 1}} + \frac{2}{3 n \sqrt[3]{n + 1}} - \frac{\left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{n^{2}}\right)^{2}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}} + \frac{\left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{n}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{\left(n + 1\right)^{\frac{5}{3}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{\left(n + 1\right)^{\frac{5}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{\frac{d}{d n} \left(\left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}} + \frac{\left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{n}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2}{3 \sqrt[3]{n + 2} \left(\frac{2}{3 \sqrt[3]{n + 1}} + \frac{2}{3 n \sqrt[3]{n + 1}} - \frac{\left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{n^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{1}{\frac{2}{3 \sqrt[3]{n + 1}} + \frac{2}{3 n \sqrt[3]{n + 1}} - \frac{\left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{n^{2}}}}{\frac{d}{d n} \frac{3 \sqrt[3]{n + 2}}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}} \left(\frac{2}{9 \left(n + 1\right)^{\frac{4}{3}}} + \frac{2}{9 n \left(n + 1\right)^{\frac{4}{3}}} + \frac{4}{3 n^{2} \sqrt[3]{n + 1}} - \frac{2 \left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{n^{3}}\right)}{\left(\frac{2}{3 \sqrt[3]{n + 1}} + \frac{2}{3 n \sqrt[3]{n + 1}} - \frac{\left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{n^{2}}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}} \left(\frac{2}{9 \left(n + 1\right)^{\frac{4}{3}}} + \frac{2}{9 n \left(n + 1\right)^{\frac{4}{3}}} + \frac{4}{3 n^{2} \sqrt[3]{n + 1}} - \frac{2 \left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{n^{3}}\right)}{\left(\frac{2}{3 \sqrt[3]{n + 1}} + \frac{2}{3 n \sqrt[3]{n + 1}} - \frac{\left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{n^{2}}\right)^{2}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{\left(n + 1\right)^{\frac{5}{3}}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{\left(n + 1\right)^{\frac{5}{3}}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{\left(n + 1\right)^{\frac{5}{3}}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{\left(n + 1\right)^{\frac{5}{3}}}\right) = \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{\left(n + 1\right)^{\frac{5}{3}}}\right) = \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{\left(n + 1\right)^{\frac{5}{3}}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{\left(n + 1\right)^{\frac{5}{3}}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{\left(n + 1\right)^{\frac{5}{3}}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{\left(n + 1\right)^{\frac{5}{3}}}\right) = \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{\left(n + 1\right)^{\frac{5}{3}}}\right) = \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{\left(n + 1\right)^{\frac{5}{3}}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo