Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- (- uno +sqrt(uno +x^ dos))/(- cuatro +sqrt(dieciséis +x^ dos))
- ( menos 1 más raíz cuadrada de (1 más x al cuadrado )) dividir por ( menos 4 más raíz cuadrada de (16 más x al cuadrado ))
- ( menos uno más raíz cuadrada de (uno más x en el grado dos)) dividir por ( menos cuatro más raíz cuadrada de (dieciséis más x en el grado dos))
- (-1+√(1+x^2))/(-4+√(16+x^2))
- (-1+sqrt(1+x2))/(-4+sqrt(16+x2))
- -1+sqrt1+x2/-4+sqrt16+x2
- (-1+sqrt(1+x²))/(-4+sqrt(16+x²))
- (-1+sqrt(1+x en el grado 2))/(-4+sqrt(16+x en el grado 2))
- -1+sqrt1+x^2/-4+sqrt16+x^2
- (-1+sqrt(1+x^2)) dividir por (-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones semejantes
- (-1+sqrt(1-x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
- (1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
- (-1-sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
- (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16-x^2))
- (-1+sqrt(1+x^2))/(-4-sqrt(16+x^2))
- (-1+sqrt(1+x^2))/(4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(3+2*x)-sqrt(-7+2*x)
- sqrt(-2+x)/(-4+x^2)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(-1+x^2-x)
- sqrt(1+x+x^2)-x
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(-4+x^2)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(3+2*x)-sqrt(-7+2*x)
- sqrt(-2+x)/(-4+x^2)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(-1+x^2-x)
- sqrt(1+x+x^2)-x
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(-4+x^2)
Límite de la función (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________\
| / 2 |
| -1 + \/ 1 + x |
lim |-----------------|
x->oo| _________|
| / 2 |
\-4 + \/ 16 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}\right)$$
Limit((-1 + sqrt(1 + x^2))/(-4 + sqrt(16 + x^2)), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x^{2} + 1} + 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4} \left(\sqrt{x^{2} + 1} + 1\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1}$$
=
$$\frac{x^{2}}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} + 1\right) \left(\sqrt{x^{2} + 16} - 4\right)}$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x^{2} + 16} + 4$$
obtendremos
$$\frac{x^{2} \left(\sqrt{x^{2} + 16} + 4\right)}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} + 1\right) \left(\sqrt{x^{2} + 16} - 4\right) \left(\sqrt{x^{2} + 16} + 4\right)}$$
=
$$\frac{x^{2} \left(\sqrt{x^{2} + 16} + 4\right)}{x^{2} \left(\sqrt{x^{2} + 1} + 1\right)}$$
=
$$\frac{\sqrt{x^{2} + 16} + 4}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 16} + 4}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1}\right)$$
=
$$4$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x^{2} + 1} + 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4} \left(\sqrt{x^{2} + 1} + 1\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1}$$
=
$$\frac{x^{2}}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} + 1\right) \left(\sqrt{x^{2} + 16} - 4\right)}$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x^{2} + 16} + 4$$
obtendremos
$$\frac{x^{2} \left(\sqrt{x^{2} + 16} + 4\right)}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} + 1\right) \left(\sqrt{x^{2} + 16} - 4\right) \left(\sqrt{x^{2} + 16} + 4\right)}$$
=
$$\frac{x^{2} \left(\sqrt{x^{2} + 16} + 4\right)}{x^{2} \left(\sqrt{x^{2} + 1} + 1\right)}$$
=
$$\frac{\sqrt{x^{2} + 16} + 4}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 16} + 4}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1}\right)$$
=
$$4$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 16} - 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x^{2} + 1} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x^{2} + 16} - 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 16}}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 16}}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 16} - 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x^{2} + 1} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x^{2} + 16} - 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 16}}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 16}}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ ________\
| / 2 |
| -1 + \/ 1 + x |
lim |-----------------|
x->0+| _________|
| / 2 |
\-4 + \/ 16 + x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}\right)$$
4
$$4$$
= 4.0
/ ________\
| / 2 |
| -1 + \/ 1 + x |
lim |-----------------|
x->0-| _________|
| / 2 |
\-4 + \/ 16 + x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}\right)$$
4
$$4$$
= 4.0
= 4.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}\right) = 4$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}\right) = 4$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}\right) = \frac{-1 + \sqrt{2}}{-4 + \sqrt{17}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}\right) = \frac{-1 + \sqrt{2}}{-4 + \sqrt{17}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}\right) = 4$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}\right) = 4$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}\right) = \frac{-1 + \sqrt{2}}{-4 + \sqrt{17}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}\right) = \frac{-1 + \sqrt{2}}{-4 + \sqrt{17}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 16} - 4}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico