Tomamos como el límite $$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{2 x - 7} + \sqrt{2 x + 3}\right)$$ Eliminamos la indeterminación oo - oo Multiplicamos y dividimos por $$\sqrt{2 x - 7} + \sqrt{2 x + 3}$$ entonces $$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{2 x - 7} + \sqrt{2 x + 3}\right)$$ = $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{2 x - 7} + \sqrt{2 x + 3}\right) \left(\sqrt{2 x - 7} + \sqrt{2 x + 3}\right)}{\sqrt{2 x - 7} + \sqrt{2 x + 3}}\right)$$ = $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{2 x - 7}\right)^{2} + \left(\sqrt{2 x + 3}\right)^{2}}{\sqrt{2 x - 7} + \sqrt{2 x + 3}}\right)$$ = $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(7 - 2 x\right) + \left(2 x + 3\right)}{\sqrt{2 x - 7} + \sqrt{2 x + 3}}\right)$$ = $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10}{\sqrt{2 x - 7} + \sqrt{2 x + 3}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por sqrt(x): $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10}{\sqrt{x} \left(\frac{\sqrt{2 x - 7}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{2 x + 3}}{\sqrt{x}}\right)}\right)$$ = $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10}{\sqrt{x} \left(\sqrt{\frac{2 x - 7}{x}} + \sqrt{\frac{2 x + 3}{x}}\right)}\right)$$ = $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10}{\sqrt{x} \left(\sqrt{2 - \frac{7}{x}} + \sqrt{2 + \frac{3}{x}}\right)}\right)$$ Sustituimos $$u = \frac{1}{x}$$ entonces $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10}{\sqrt{x} \left(\sqrt{2 - \frac{7}{x}} + \sqrt{2 + \frac{3}{x}}\right)}\right)$$ = $$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{10}{\left(\sqrt{2 - 7 u} + \sqrt{3 u + 2}\right) \sqrt{\frac{1}{u}}}\right)$$ = = $$\frac{10}{\tilde{\infty} \left(\sqrt{2 - 0} + \sqrt{0 \cdot 3 + 2}\right)} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es: $$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{2 x - 7} + \sqrt{2 x + 3}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{2 x - 7} + \sqrt{2 x + 3}\right) = 0$$ $$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{2 x - 7} + \sqrt{2 x + 3}\right) = \sqrt{3} - \sqrt{7} i$$ Más detalles con x→0 a la izquierda $$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{2 x - 7} + \sqrt{2 x + 3}\right) = \sqrt{3} - \sqrt{7} i$$ Más detalles con x→0 a la derecha $$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{2 x - 7} + \sqrt{2 x + 3}\right) = \sqrt{5} - \sqrt{5} i$$ Más detalles con x→1 a la izquierda $$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{2 x - 7} + \sqrt{2 x + 3}\right) = \sqrt{5} - \sqrt{5} i$$ Más detalles con x→1 a la derecha $$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{2 x - 7} + \sqrt{2 x + 3}\right) = 0$$ Más detalles con x→-oo