Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2-7*x+3*x^2)/(2-5*x+2*x^2)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
- Límite de (x^m-a^m)/(x^n-a^n)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno +x+x^ dos)-sqrt(- uno +x^ dos -x)
- raíz cuadrada de (1 más x más x al cuadrado ) menos raíz cuadrada de ( menos 1 más x al cuadrado menos x)
- raíz cuadrada de (uno más x más x en el grado dos) menos raíz cuadrada de ( menos uno más x en el grado dos menos x)
- √(1+x+x^2)-√(-1+x^2-x)
- sqrt(1+x+x2)-sqrt(-1+x2-x)
- sqrt1+x+x2-sqrt-1+x2-x
- sqrt(1+x+x²)-sqrt(-1+x²-x)
- sqrt(1+x+x en el grado 2)-sqrt(-1+x en el grado 2-x)
- sqrt1+x+x^2-sqrt-1+x^2-x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1+x-x^2)-sqrt(-1+x^2-x)
- sqrt(1-x+x^2)-sqrt(-1+x^2-x)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(-1+x^2+x)
- sqrt(1+x+x^2)+sqrt(-1+x^2-x)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(-1-x^2-x)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(1+x^2-x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-2+x^2+3*x)-sqrt(-3+x^2)
- sqrt(1+x+x^2)-x
- sqrt(9+x^2+4*x)-sqrt(11+x^2-8*x)
- sqrt(-1+n+n^2)-sqrt(1+n^2-n)
- sqrt(n^2+3*n)-n
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-2+x^2+3*x)-sqrt(-3+x^2)
- sqrt(1+x+x^2)-x
- sqrt(9+x^2+4*x)-sqrt(11+x^2-8*x)
- sqrt(-1+n+n^2)-sqrt(1+n^2-n)
- sqrt(n^2+3*n)-n
Límite de la función sqrt(1+x+x^2)-sqrt(-1+x^2-x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ____________ _____________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ 1 + x + x - \/ -1 + x - x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
Limit(sqrt(1 + x + x^2) - sqrt(-1 + x^2 - x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) \left(\sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)}{\sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)^{2}}{\sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \left(1 - x^{2}\right)\right) + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{\sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 2}{\sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{2}{x}}{\frac{\sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{- x + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u + 2}{\sqrt{- u^{2} - u + 1} + \sqrt{u^{2} + u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 2 + 2}{\sqrt{0^{2} + 1} + \sqrt{- 0 - 0^{2} + 1}} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) \left(\sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)}{\sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)^{2}}{\sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \left(1 - x^{2}\right)\right) + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{\sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 2}{\sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{2}{x}}{\frac{\sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{- x + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u + 2}{\sqrt{- u^{2} - u + 1} + \sqrt{u^{2} + u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 2 + 2}{\sqrt{0^{2} + 1} + \sqrt{- 0 - 0^{2} + 1}} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1 - i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1 - i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = \sqrt{3} - i$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = \sqrt{3} - i$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1 - i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1 - i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = \sqrt{3} - i$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = \sqrt{3} - i$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{- x + \left(x^{2} - 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico