Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2-7*x+3*x^2)/(2-5*x+2*x^2)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
- Límite de (x^m-a^m)/(x^n-a^n)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(- uno +n+n^ dos)-sqrt(uno +n^ dos -n)
- raíz cuadrada de ( menos 1 más n más n al cuadrado ) menos raíz cuadrada de (1 más n al cuadrado menos n)
- raíz cuadrada de ( menos uno más n más n en el grado dos) menos raíz cuadrada de (uno más n en el grado dos menos n)
- √(-1+n+n^2)-√(1+n^2-n)
- sqrt(-1+n+n2)-sqrt(1+n2-n)
- sqrt-1+n+n2-sqrt1+n2-n
- sqrt(-1+n+n²)-sqrt(1+n²-n)
- sqrt(-1+n+n en el grado 2)-sqrt(1+n en el grado 2-n)
- sqrt-1+n+n^2-sqrt1+n^2-n
-
Expresiones semejantes
- sqrt(-1+n+n^2)-sqrt(1+n^2+n)
- sqrt(-1+n+n^2)+sqrt(1+n^2-n)
- sqrt(-1-n+n^2)-sqrt(1+n^2-n)
- sqrt(1+n+n^2)-sqrt(1+n^2-n)
- sqrt(-1+n+n^2)-sqrt(1-n^2-n)
- sqrt(-1+n-n^2)-sqrt(1+n^2-n)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-2+x^2+3*x)-sqrt(-3+x^2)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(-1+x^2-x)
- sqrt(1+x+x^2)-x
- sqrt(9+x^2+4*x)-sqrt(11+x^2-8*x)
- sqrt(n^2+3*n)-n
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-2+x^2+3*x)-sqrt(-3+x^2)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(-1+x^2-x)
- sqrt(1+x+x^2)-x
- sqrt(9+x^2+4*x)-sqrt(11+x^2-8*x)
- sqrt(n^2+3*n)-n
Límite de la función sqrt(-1+n+n^2)-sqrt(1+n^2-n)
Solución
Ha introducido
[src]
/ _____________ ____________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ -1 + n + n - \/ 1 + n - n /
n->oo
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right)$$
Limit(sqrt(-1 + n + n^2) - sqrt(1 + n^2 - n), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right) \left(\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right)}{\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)}\right)^{2} + \left(\sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right)^{2}}{\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + \left(- n^{2} - 1\right)\right) + \left(n^{2} + \left(n - 1\right)\right)}{\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n - 2}{\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{2}{n}}{\frac{\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)}}{n} + \frac{\sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}}{n}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{2}{n}}{\sqrt{\frac{- n + \left(n^{2} + 1\right)}{n^{2}}} + \sqrt{\frac{n^{2} + \left(n - 1\right)}{n^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{2}{n}}{\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{2}{n}}{\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 - 2 u}{\sqrt{- u^{2} + u + 1} + \sqrt{u^{2} - u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{2 - 0}{\sqrt{1 - 0^{2}} + \sqrt{0^{2} - 0 + 1}} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right) \left(\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right)}{\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)}\right)^{2} + \left(\sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right)^{2}}{\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + \left(- n^{2} - 1\right)\right) + \left(n^{2} + \left(n - 1\right)\right)}{\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n - 2}{\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{2}{n}}{\frac{\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)}}{n} + \frac{\sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}}{n}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{2}{n}}{\sqrt{\frac{- n + \left(n^{2} + 1\right)}{n^{2}}} + \sqrt{\frac{n^{2} + \left(n - 1\right)}{n^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{2}{n}}{\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{2}{n}}{\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 - 2 u}{\sqrt{- u^{2} + u + 1} + \sqrt{u^{2} - u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{2 - 0}{\sqrt{1 - 0^{2}} + \sqrt{0^{2} - 0 + 1}} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right) = -1 + i$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right) = -1 + i$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right) = -1 + i$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right) = -1 + i$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n - 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con n→-oo
Gráfico