Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-2*x^2+2*x^3)/(-4*x^2+5*x^3)
-
Límite de (-2+x)/(-2+sqrt(2)*sqrt(x))
-
Límite de (1-cos(x)^2)/(x^2-sin(x)^2)
- Límite de n2*(5/2+n/2)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno +n+n^ dos)-sqrt(uno +n^ dos -n)
- raíz cuadrada de (1 más n más n al cuadrado ) menos raíz cuadrada de (1 más n al cuadrado menos n)
- raíz cuadrada de (uno más n más n en el grado dos) menos raíz cuadrada de (uno más n en el grado dos menos n)
- √(1+n+n^2)-√(1+n^2-n)
- sqrt(1+n+n2)-sqrt(1+n2-n)
- sqrt1+n+n2-sqrt1+n2-n
- sqrt(1+n+n²)-sqrt(1+n²-n)
- sqrt(1+n+n en el grado 2)-sqrt(1+n en el grado 2-n)
- sqrt1+n+n^2-sqrt1+n^2-n
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1+n-n^2)-sqrt(1+n^2-n)
- sqrt(1+n+n^2)+sqrt(1+n^2-n)
- sqrt(1+n+n^2)-sqrt(1+n^2+n)
- sqrt(1+n+n^2)-sqrt(1-n^2-n)
- sqrt(1-n+n^2)-sqrt(1+n^2-n)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1+(1+n)^2)*(1+n)/(n*sqrt(1+n^2))
- sqrt((-27+8*x^3)/(-9+4*x^2))
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(x)/sqrt(x+sqrt(x))
- sqrt(6+x)-sqrt(x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1+(1+n)^2)*(1+n)/(n*sqrt(1+n^2))
- sqrt((-27+8*x^3)/(-9+4*x^2))
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(x)/sqrt(x+sqrt(x))
- sqrt(6+x)-sqrt(x)
Límite de la función sqrt(1+n+n^2)-sqrt(1+n^2-n)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ____________ ____________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ 1 + n + n - \/ 1 + n - n /
n->oo
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right)$$
Limit(sqrt(1 + n + n^2) - sqrt(1 + n^2 - n), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) \left(\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right)}{\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)}\right)^{2} + \left(\sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right)^{2}}{\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + \left(- n^{2} - 1\right)\right) + \left(n^{2} + \left(n + 1\right)\right)}{\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n}{\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2}{\frac{\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)}}{n} + \frac{\sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}}{n}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{\frac{- n + \left(n^{2} + 1\right)}{n^{2}}} + \sqrt{\frac{n^{2} + \left(n + 1\right)}{n^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2}{\sqrt{u^{2} - u + 1} + \sqrt{u^{2} + u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{2}{\sqrt{0^{2} + 1} + \sqrt{0^{2} - 0 + 1}} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) \left(\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right)}{\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)}\right)^{2} + \left(\sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right)^{2}}{\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + \left(- n^{2} - 1\right)\right) + \left(n^{2} + \left(n + 1\right)\right)}{\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n}{\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2}{\frac{\sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)}}{n} + \frac{\sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}}{n}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{\frac{- n + \left(n^{2} + 1\right)}{n^{2}}} + \sqrt{\frac{n^{2} + \left(n + 1\right)}{n^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2}{\sqrt{u^{2} - u + 1} + \sqrt{u^{2} + u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{2}{\sqrt{0^{2} + 1} + \sqrt{0^{2} - 0 + 1}} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = -1 + \sqrt{3}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = -1 + \sqrt{3}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = -1 + \sqrt{3}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = -1 + \sqrt{3}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(- \sqrt{- n + \left(n^{2} + 1\right)} + \sqrt{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con n→-oo