Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+x^3+5*x^2+7*x)/(2+x^3+4*x^2+5*x)
-
Límite de (-3+sqrt(7+x))/(-2+sqrt(2+x))
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+3*x))/(sqrt(x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno +(uno +n)^ dos)*(uno +n)/(n*sqrt(uno +n^ dos))
- raíz cuadrada de (1 más (1 más n) al cuadrado ) multiplicar por (1 más n) dividir por (n multiplicar por raíz cuadrada de (1 más n al cuadrado ))
- raíz cuadrada de (uno más (uno más n) en el grado dos) multiplicar por (uno más n) dividir por (n multiplicar por raíz cuadrada de (uno más n en el grado dos))
- √(1+(1+n)^2)*(1+n)/(n*√(1+n^2))
- sqrt(1+(1+n)2)*(1+n)/(n*sqrt(1+n2))
- sqrt1+1+n2*1+n/n*sqrt1+n2
- sqrt(1+(1+n)²)*(1+n)/(n*sqrt(1+n²))
- sqrt(1+(1+n) en el grado 2)*(1+n)/(n*sqrt(1+n en el grado 2))
- sqrt(1+(1+n)^2)(1+n)/(nsqrt(1+n^2))
- sqrt(1+(1+n)2)(1+n)/(nsqrt(1+n2))
- sqrt1+1+n21+n/nsqrt1+n2
- sqrt1+1+n^21+n/nsqrt1+n^2
- sqrt(1+(1+n)^2)*(1+n) dividir por (n*sqrt(1+n^2))
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1+(1+n)^2)*(1+n)/(n*sqrt(1-n^2))
- sqrt(1+(1-n)^2)*(1+n)/(n*sqrt(1+n^2))
- sqrt(1-(1+n)^2)*(1+n)/(n*sqrt(1+n^2))
- sqrt(1+(1+n)^2)*(1-n)/(n*sqrt(1+n^2))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*cos(x)/(1+x)
- sqrt(3+x+x^2)-sqrt(1+x^2-3*x)
- sqrt((1+x)*(2+x))-sqrt((-1+x)*(3+x))
- sqrt(x^2+5*x)-sqrt(4+x^2)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2+3*x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*cos(x)/(1+x)
- sqrt(3+x+x^2)-sqrt(1+x^2-3*x)
- sqrt((1+x)*(2+x))-sqrt((-1+x)*(3+x))
- sqrt(x^2+5*x)-sqrt(4+x^2)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2+3*x)
Límite de la función sqrt(1+(1+n)^2)*(1+n)/(n*sqrt(1+n^2))
Solución
Ha introducido
[src]
/ ______________ \
| / 2 |
|\/ 1 + (1 + n) *(1 + n)|
lim |-------------------------|
n->oo| ________ |
| / 2 |
\ n*\/ 1 + n /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{n \sqrt{n^{2} + 1}}\right)$$
Limit((sqrt(1 + (1 + n)^2)*(1 + n))/((n*sqrt(1 + n^2))), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^{2} + 2 n + 2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{n \sqrt{n^{2} + 1}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{n \sqrt{n^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \sqrt{n^{2} + 2 n + 2}}{\frac{d}{d n} \frac{n \sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n^{2} + 2 n + 2} \left(\frac{n^{2}}{n \sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} + 1}} - \frac{n \sqrt{n^{2} + 1}}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n^{2} + 2 n + 2} \left(\frac{n^{2}}{n \sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} + 1}} - \frac{n \sqrt{n^{2} + 1}}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1}\right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^{2} + 2 n + 2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{n \sqrt{n^{2} + 1}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{n \sqrt{n^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \sqrt{n^{2} + 2 n + 2}}{\frac{d}{d n} \frac{n \sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n^{2} + 2 n + 2} \left(\frac{n^{2}}{n \sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} + 1}} - \frac{n \sqrt{n^{2} + 1}}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n^{2} + 2 n + 2} \left(\frac{n^{2}}{n \sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} + 1}} - \frac{n \sqrt{n^{2} + 1}}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1}\right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{n \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 1\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{n \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 1\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{n \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 1\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{n \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = \sqrt{10}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 1\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{n \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = \sqrt{10}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{n \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 1\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{n \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 1\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{n \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 1\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{n \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = \sqrt{10}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 1\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{n \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = \sqrt{10}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{n \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
Gráfico