Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+x^3+5*x^2+7*x)/(2+x^3+4*x^2+5*x)
-
Límite de (-3+sqrt(7+x))/(-2+sqrt(2+x))
-
Límite de (1+11/x)^x
-
Límite de (x/(6+x))^x
-
Expresiones idénticas
- sqrt(tres +x+x^ dos)-sqrt(uno +x^ dos - tres *x)
- raíz cuadrada de (3 más x más x al cuadrado ) menos raíz cuadrada de (1 más x al cuadrado menos 3 multiplicar por x)
- raíz cuadrada de (tres más x más x en el grado dos) menos raíz cuadrada de (uno más x en el grado dos menos tres multiplicar por x)
- √(3+x+x^2)-√(1+x^2-3*x)
- sqrt(3+x+x2)-sqrt(1+x2-3*x)
- sqrt3+x+x2-sqrt1+x2-3*x
- sqrt(3+x+x²)-sqrt(1+x²-3*x)
- sqrt(3+x+x en el grado 2)-sqrt(1+x en el grado 2-3*x)
- sqrt(3+x+x^2)-sqrt(1+x^2-3x)
- sqrt(3+x+x2)-sqrt(1+x2-3x)
- sqrt3+x+x2-sqrt1+x2-3x
- sqrt3+x+x^2-sqrt1+x^2-3x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(3+x+x^2)-sqrt(1+x^2+3*x)
- sqrt(3-x+x^2)-sqrt(1+x^2-3*x)
- sqrt(3+x+x^2)+sqrt(1+x^2-3*x)
- sqrt(3+x-x^2)-sqrt(1+x^2-3*x)
- sqrt(3+x+x^2)-sqrt(1-x^2-3*x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*cos(x)/(1+x)
- sqrt((1+x)*(2+x))-sqrt((-1+x)*(3+x))
- sqrt(x^2+5*x)-sqrt(4+x^2)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2+3*x)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2-2*x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*cos(x)/(1+x)
- sqrt((1+x)*(2+x))-sqrt((-1+x)*(3+x))
- sqrt(x^2+5*x)-sqrt(4+x^2)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2+3*x)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2-2*x)
Límite de la función sqrt(3+x+x^2)-sqrt(1+x^2-3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ____________ ______________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ 3 + x + x - \/ 1 + x - 3*x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right)$$
Limit(sqrt(3 + x + x^2) - sqrt(1 + x^2 - 3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right) \left(\sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right)}{\sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right)^{2}}{\sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + \left(- x^{2} - 1\right)\right) + \left(x^{2} + \left(x + 3\right)\right)}{\sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + 2}{\sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{2}{x}}{\frac{\sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + \left(x + 3\right)}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u + 4}{\sqrt{u^{2} - 3 u + 1} + \sqrt{3 u^{2} + u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 2 + 4}{\sqrt{3 \cdot 0^{2} + 1} + \sqrt{0^{2} - 0 + 1}} = 2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right) \left(\sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right)}{\sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right)^{2}}{\sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + \left(- x^{2} - 1\right)\right) + \left(x^{2} + \left(x + 3\right)\right)}{\sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + 2}{\sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{2}{x}}{\frac{\sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + \left(x + 3\right)}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u + 4}{\sqrt{u^{2} - 3 u + 1} + \sqrt{3 u^{2} + u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 2 + 4}{\sqrt{3 \cdot 0^{2} + 1} + \sqrt{0^{2} - 0 + 1}} = 2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right) = 2$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right) = -1 + \sqrt{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right) = -1 + \sqrt{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right) = \sqrt{5} - i$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right) = \sqrt{5} - i$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right) = -2$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right) = -1 + \sqrt{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right) = -1 + \sqrt{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right) = \sqrt{5} - i$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right) = \sqrt{5} - i$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{- 3 x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 3\right)}\right) = -2$$
Más detalles con x→-oo