Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 2 x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} - 2 x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 2 x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x^{2} - 2 x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) \left(\sqrt{x^{2} - 2 x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)}{\sqrt{x^{2} - 2 x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x^{2} - 2 x}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + 2 x}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} - 2 x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 2 x\right) + \left(x^{2} + 2 x\right)}{\sqrt{x^{2} - 2 x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 2 x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4}{\frac{\sqrt{x^{2} - 2 x}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 2 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4}{\sqrt{\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + 2 x}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4}{\sqrt{1 - \frac{2}{x}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4}{\sqrt{1 - \frac{2}{x}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4}{\sqrt{1 - 2 u} + \sqrt{2 u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{4}{\sqrt{1 - 0} + \sqrt{0 \cdot 2 + 1}} = -2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 2 x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = -2$$