Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+x^3+5*x^2+7*x)/(2+x^3+4*x^2+5*x)
-
Límite de (-3+sqrt(7+x))/(-2+sqrt(2+x))
-
Límite de (1+11/x)^x
-
Límite de (x/(6+x))^x
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x^ dos + cinco *x)-sqrt(cuatro +x^ dos)
- raíz cuadrada de (x al cuadrado más 5 multiplicar por x) menos raíz cuadrada de (4 más x al cuadrado )
- raíz cuadrada de (x en el grado dos más cinco multiplicar por x) menos raíz cuadrada de (cuatro más x en el grado dos)
- √(x^2+5*x)-√(4+x^2)
- sqrt(x2+5*x)-sqrt(4+x2)
- sqrtx2+5*x-sqrt4+x2
- sqrt(x²+5*x)-sqrt(4+x²)
- sqrt(x en el grado 2+5*x)-sqrt(4+x en el grado 2)
- sqrt(x^2+5x)-sqrt(4+x^2)
- sqrt(x2+5x)-sqrt(4+x2)
- sqrtx2+5x-sqrt4+x2
- sqrtx^2+5x-sqrt4+x^2
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x^2-5*x)-sqrt(4+x^2)
- sqrt(x^2+5*x)+sqrt(4+x^2)
- sqrt(x^2+5*x)-sqrt(4-x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*cos(x)/(1+x)
- sqrt(3+x+x^2)-sqrt(1+x^2-3*x)
- sqrt((1+x)*(2+x))-sqrt((-1+x)*(3+x))
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2+3*x)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2-2*x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*cos(x)/(1+x)
- sqrt(3+x+x^2)-sqrt(1+x^2-3*x)
- sqrt((1+x)*(2+x))-sqrt((-1+x)*(3+x))
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2+3*x)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2-2*x)
Límite de la función sqrt(x^2+5*x)-sqrt(4+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ __________ ________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ x + 5*x - \/ 4 + x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right)$$
Limit(sqrt(x^2 + 5*x) - sqrt(4 + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right) \left(\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right)}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x^{2} + 4}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + 5 x}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - 4\right) + \left(x^{2} + 5 x\right)}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x - 4}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 - \frac{4}{x}}{\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 5 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 - \frac{4}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2} + 4}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + 5 x}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 - \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{5}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 - \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{5}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 - 4 u}{\sqrt{5 u + 1} + \sqrt{4 u^{2} + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{5 - 0}{\sqrt{4 \cdot 0^{2} + 1} + \sqrt{0 \cdot 5 + 1}} = \frac{5}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right) = \frac{5}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right) \left(\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right)}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x^{2} + 4}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + 5 x}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - 4\right) + \left(x^{2} + 5 x\right)}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x - 4}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 - \frac{4}{x}}{\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 5 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 - \frac{4}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2} + 4}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + 5 x}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 - \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{5}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 - \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{5}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 - 4 u}{\sqrt{5 u + 1} + \sqrt{4 u^{2} + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{5 - 0}{\sqrt{4 \cdot 0^{2} + 1} + \sqrt{0 \cdot 5 + 1}} = \frac{5}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right) = \frac{5}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right) = \frac{5}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right) = -2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right) = -2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right) = - \sqrt{5} + \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right) = - \sqrt{5} + \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right) = - \frac{5}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right) = -2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right) = -2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right) = - \sqrt{5} + \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right) = - \sqrt{5} + \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + 5 x}\right) = - \frac{5}{2}$$
Más detalles con x→-oo