Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+x^3+5*x^2+7*x)/(2+x^3+4*x^2+5*x)
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+3*x))/(sqrt(x)-sqrt(2))
-
Límite de (-6-7*x+3*x^2)/(3-7*x+2*x^2)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x^ dos + dos *x)-sqrt(x^ dos + tres *x)
- raíz cuadrada de (x al cuadrado más 2 multiplicar por x) menos raíz cuadrada de (x al cuadrado más 3 multiplicar por x)
- raíz cuadrada de (x en el grado dos más dos multiplicar por x) menos raíz cuadrada de (x en el grado dos más tres multiplicar por x)
- √(x^2+2*x)-√(x^2+3*x)
- sqrt(x2+2*x)-sqrt(x2+3*x)
- sqrtx2+2*x-sqrtx2+3*x
- sqrt(x²+2*x)-sqrt(x²+3*x)
- sqrt(x en el grado 2+2*x)-sqrt(x en el grado 2+3*x)
- sqrt(x^2+2x)-sqrt(x^2+3x)
- sqrt(x2+2x)-sqrt(x2+3x)
- sqrtx2+2x-sqrtx2+3x
- sqrtx^2+2x-sqrtx^2+3x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2-3*x)
- sqrt(x^2+2*x)+sqrt(x^2+3*x)
- sqrt(x^2-2*x)-sqrt(x^2+3*x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*cos(x)/(1+x)
- sqrt(3+x+x^2)-sqrt(1+x^2-3*x)
- sqrt((1+x)*(2+x))-sqrt((-1+x)*(3+x))
- sqrt(x^2+5*x)-sqrt(4+x^2)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2-2*x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*cos(x)/(1+x)
- sqrt(3+x+x^2)-sqrt(1+x^2-3*x)
- sqrt((1+x)*(2+x))-sqrt((-1+x)*(3+x))
- sqrt(x^2+5*x)-sqrt(4+x^2)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2-2*x)
Límite de la función sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2+3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ __________ __________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ x + 2*x - \/ x + 3*x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 2 x} - \sqrt{x^{2} + 3 x}\right)$$
Limit(sqrt(x^2 + 2*x) - sqrt(x^2 + 3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 2 x} - \sqrt{x^{2} + 3 x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + 2 x} + \sqrt{x^{2} + 3 x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 2 x} - \sqrt{x^{2} + 3 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 2 x} - \sqrt{x^{2} + 3 x}\right) \left(\sqrt{x^{2} + 2 x} + \sqrt{x^{2} + 3 x}\right)}{\sqrt{x^{2} + 2 x} + \sqrt{x^{2} + 3 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 2 x}\right)^{2} - \left(\sqrt{x^{2} + 3 x}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + 2 x} + \sqrt{x^{2} + 3 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - 3 x\right) + \left(x^{2} + 2 x\right)}{\sqrt{x^{2} + 2 x} + \sqrt{x^{2} + 3 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2 x} + \sqrt{x^{2} + 3 x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} + 2 x}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 3 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2} + 2 x}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \sqrt{1 + \frac{3}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \sqrt{1 + \frac{3}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{1}{\sqrt{2 u + 1} + \sqrt{3 u + 1}}\right)$$ =
= $$- \frac{1}{\sqrt{0 \cdot 2 + 1} + \sqrt{0 \cdot 3 + 1}} = - \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 2 x} - \sqrt{x^{2} + 3 x}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 2 x} - \sqrt{x^{2} + 3 x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + 2 x} + \sqrt{x^{2} + 3 x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 2 x} - \sqrt{x^{2} + 3 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 2 x} - \sqrt{x^{2} + 3 x}\right) \left(\sqrt{x^{2} + 2 x} + \sqrt{x^{2} + 3 x}\right)}{\sqrt{x^{2} + 2 x} + \sqrt{x^{2} + 3 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 2 x}\right)^{2} - \left(\sqrt{x^{2} + 3 x}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + 2 x} + \sqrt{x^{2} + 3 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - 3 x\right) + \left(x^{2} + 2 x\right)}{\sqrt{x^{2} + 2 x} + \sqrt{x^{2} + 3 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2 x} + \sqrt{x^{2} + 3 x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} + 2 x}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 3 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2} + 2 x}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \sqrt{1 + \frac{3}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \sqrt{1 + \frac{3}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{1}{\sqrt{2 u + 1} + \sqrt{3 u + 1}}\right)$$ =
= $$- \frac{1}{\sqrt{0 \cdot 2 + 1} + \sqrt{0 \cdot 3 + 1}} = - \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 2 x} - \sqrt{x^{2} + 3 x}\right) = - \frac{1}{2}$$