Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
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Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
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Límite de (1+4/x)^(2*x)
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Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de ((4+3*x)/(-2+3*x))^(-7+5*x)
-
Expresiones idénticas
- (x/(seis +x))^x
- (x dividir por (6 más x)) en el grado x
- (x dividir por (seis más x)) en el grado x
- (x/(6+x))x
- x/6+xx
- x/6+x^x
- (x dividir por (6+x))^x
-
Expresiones semejantes
- (x/(6-x))^x
Límite de la función (x/(6+x))^x
Solución
Ha introducido
[src]
x
/ x \
lim |-----|
x->oo\6 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 6}\right)^{x}$$
Limit((x/(6 + x))^x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 6}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 6}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 6\right) - 6}{x + 6}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{6}{x + 6} + \frac{x + 6}{x + 6}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{x + 6}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 6}{-6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{x + 6}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u - 6}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6} = e^{-6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 6}\right)^{x} = e^{-6}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 6}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 6}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 6\right) - 6}{x + 6}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{6}{x + 6} + \frac{x + 6}{x + 6}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{x + 6}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 6}{-6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{x + 6}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u - 6}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6} = e^{-6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 6}\right)^{x} = e^{-6}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 6}\right)^{x} = e^{-6}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x + 6}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x + 6}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x + 6}\right)^{x} = \frac{1}{7}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x + 6}\right)^{x} = \frac{1}{7}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x + 6}\right)^{x} = e^{-6}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x + 6}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x + 6}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x + 6}\right)^{x} = \frac{1}{7}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x + 6}\right)^{x} = \frac{1}{7}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x + 6}\right)^{x} = e^{-6}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico