Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-7-13*x+2*x^2)/(14+x^2-9*x)
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (-1+x^2-2*x)/(-2+5*x^2+7*x)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Expresiones idénticas
- (x/(- tres +x))^(- cinco +x)
- (x dividir por ( menos 3 más x)) en el grado ( menos 5 más x)
- (x dividir por ( menos tres más x)) en el grado ( menos cinco más x)
- (x/(-3+x))(-5+x)
- x/-3+x-5+x
- x/-3+x^-5+x
- (x dividir por (-3+x))^(-5+x)
-
Expresiones semejantes
- (x/(3+x))^(-5+x)
- (x/(-3-x))^(-5+x)
- (x/(-3+x))^(-5-x)
- (x/(-3+x))^(5+x)
Límite de la función (x/(-3+x))^(-5+x)
Solución
Ha introducido
[src]
-5 + x
/ x \
lim |------|
x->oo\-3 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x - 5}$$
Limit((x/(-3 + x))^(-5 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x - 5}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x - 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 3\right) + 3}{x - 3}\right)^{x - 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 3} + \frac{3}{x - 3}\right)^{x - 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x - 3}\right)^{x - 5}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 3}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x - 3}\right)^{x - 5}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u - 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3} = e^{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x - 5} = e^{3}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x - 5}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x - 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 3\right) + 3}{x - 3}\right)^{x - 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 3} + \frac{3}{x - 3}\right)^{x - 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x - 3}\right)^{x - 5}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 3}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x - 3}\right)^{x - 5}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u - 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3} = e^{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x - 5} = e^{3}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x - 5} = e^{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x - 5} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x - 5} = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x - 5} = 16$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x - 5} = 16$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x - 5} = e^{3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x - 5} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x - 5} = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x - 5} = 16$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x - 5} = 16$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x - 5} = e^{3}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico