Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
- Límite de (-1+x^m)/(-1+x^n)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(- uno +x^ dos)-sqrt(uno +x^ dos)
- raíz cuadrada de ( menos 1 más x al cuadrado ) menos raíz cuadrada de (1 más x al cuadrado )
- raíz cuadrada de ( menos uno más x en el grado dos) menos raíz cuadrada de (uno más x en el grado dos)
- √(-1+x^2)-√(1+x^2)
- sqrt(-1+x2)-sqrt(1+x2)
- sqrt-1+x2-sqrt1+x2
- sqrt(-1+x²)-sqrt(1+x²)
- sqrt(-1+x en el grado 2)-sqrt(1+x en el grado 2)
- sqrt-1+x^2-sqrt1+x^2
-
Expresiones semejantes
- sqrt(-1+x^2)-sqrt(1-x^2)
- sqrt(-1-x^2)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(-1+x^2)+sqrt(1+x^2)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(1+x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-2+x^2+3*x)-sqrt(-3+x^2)
- sqrt(3+2*x)-sqrt(-7+2*x)
- sqrt(-2+x)/(-4+x^2)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(-1+x^2-x)
- sqrt(1+x+x^2)-x
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-2+x^2+3*x)-sqrt(-3+x^2)
- sqrt(3+2*x)-sqrt(-7+2*x)
- sqrt(-2+x)/(-4+x^2)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(-1+x^2-x)
- sqrt(1+x+x^2)-x
Límite de la función sqrt(-1+x^2)-sqrt(1+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ _________ ________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ -1 + x - \/ 1 + x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$
Limit(sqrt(-1 + x^2) - sqrt(1 + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) \left(\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right)}{\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} - 1}\right)^{2} - \left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - 1\right) + \left(x^{2} - 1\right)}{\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{x \left(\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{x \left(\sqrt{\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{x \left(\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{x \left(\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{2 u}{\sqrt{1 - u^{2}} + \sqrt{u^{2} + 1}}\right)$$ =
= $$- \frac{0}{\sqrt{0^{2} + 1} + \sqrt{1 - 0^{2}}} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) \left(\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right)}{\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} - 1}\right)^{2} - \left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - 1\right) + \left(x^{2} - 1\right)}{\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{x \left(\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{x \left(\sqrt{\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{x \left(\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{x \left(\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{2 u}{\sqrt{1 - u^{2}} + \sqrt{u^{2} + 1}}\right)$$ =
= $$- \frac{0}{\sqrt{0^{2} + 1} + \sqrt{1 - 0^{2}}} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = -1 + i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = -1 + i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = -1 + i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = -1 + i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico