Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
- Límite de x^3-x^2+2*x
- Límite de -3+(-729+x^3)/sqrt(x)
- Límite de (-1/9+x^2)/(1/3+x)
-
Límite de log(cos(x))/x^2
-
Expresiones idénticas
- (- uno / nueve +x^ dos)/(uno / tres +x)
- ( menos 1 dividir por 9 más x al cuadrado ) dividir por (1 dividir por 3 más x)
- ( menos uno dividir por nueve más x en el grado dos) dividir por (uno dividir por tres más x)
- (-1/9+x2)/(1/3+x)
- -1/9+x2/1/3+x
- (-1/9+x²)/(1/3+x)
- (-1/9+x en el grado 2)/(1/3+x)
- -1/9+x^2/1/3+x
- (-1 dividir por 9+x^2) dividir por (1 dividir por 3+x)
-
Expresiones semejantes
- (1/9+x^2)/(1/3+x)
- (-1/9+x^2)/(1/3-x)
- (-1/9-x^2)/(1/3+x)
Límite de la función (-1/9+x^2)/(1/3+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 1 2\
|- - + x |
| 9 |
lim |--------|
x->oo\1/3 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{9}}{x + \frac{1}{3}}\right)$$
Limit((-1/9 + x^2)/(1/3 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{9}}{x + \frac{1}{3}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{9}}{x + \frac{1}{3}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{9 x^{2}}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{3 x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{9 x^{2}}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{3 x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - \frac{u^{2}}{9}}{\frac{u^{2}}{3} + u}\right)$$
=
$$\frac{1 - \frac{0^{2}}{9}}{\frac{1}{3} \cdot 0^{2}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{9}}{x + \frac{1}{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{9}}{x + \frac{1}{3}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{9}}{x + \frac{1}{3}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{9 x^{2}}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{3 x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{9 x^{2}}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{3 x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - \frac{u^{2}}{9}}{\frac{u^{2}}{3} + u}\right)$$
=
$$\frac{1 - \frac{0^{2}}{9}}{\frac{1}{3} \cdot 0^{2}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{9}}{x + \frac{1}{3}}\right) = \infty$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(9 x^{2} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(9 x + 3\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{9}}{x + \frac{1}{3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} - 1}{3 \left(3 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(9 x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(9 x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(9 x^{2} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(9 x + 3\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{9}}{x + \frac{1}{3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} - 1}{3 \left(3 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(9 x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(9 x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{9}}{x + \frac{1}{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{9}}{x + \frac{1}{3}}\right) = - \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{9}}{x + \frac{1}{3}}\right) = - \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{9}}{x + \frac{1}{3}}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{9}}{x + \frac{1}{3}}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{9}}{x + \frac{1}{3}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{9}}{x + \frac{1}{3}}\right) = - \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{9}}{x + \frac{1}{3}}\right) = - \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{9}}{x + \frac{1}{3}}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{9}}{x + \frac{1}{3}}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{9}}{x + \frac{1}{3}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo