Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x^{2} - x + e^{x} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{3} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)} - x \left(x + 1\right)}{x^{3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x \left(x + 1\right) + e^{x} \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} - x + e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 2 x + e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 x + e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} - 1\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 e^{x} \cos{\left(x \right)} - 2}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 e^{x} \cos{\left(x \right)} - 2\right)}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{3} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{3} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{3}\right)$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)