Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- ((cuatro + tres *x)/(cinco + tres *x))^(seis *x)
- ((4 más 3 multiplicar por x) dividir por (5 más 3 multiplicar por x)) en el grado (6 multiplicar por x)
- ((cuatro más tres multiplicar por x) dividir por (cinco más tres multiplicar por x)) en el grado (seis multiplicar por x)
- ((4+3*x)/(5+3*x))(6*x)
- 4+3*x/5+3*x6*x
- ((4+3x)/(5+3x))^(6x)
- ((4+3x)/(5+3x))(6x)
- 4+3x/5+3x6x
- 4+3x/5+3x^6x
- ((4+3*x) dividir por (5+3*x))^(6*x)
-
Expresiones semejantes
- ((4-3*x)/(5+3*x))^(6*x)
- ((4+3*x)/(5-3*x))^(6*x)
Límite de la función ((4+3*x)/(5+3*x))^(6*x)
Solución
Ha introducido
[src]
6*x
/4 + 3*x\
lim |-------|
x->oo\5 + 3*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{6 x}$$
Limit(((4 + 3*x)/(5 + 3*x))^(6*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{6 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{6 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 5\right) - 1}{3 x + 5}\right)^{6 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{3 x + 5} + \frac{3 x + 5}{3 x + 5}\right)^{6 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{3 x + 5}\right)^{6 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 5}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{3 x + 5}\right)^{6 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 10}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{6 x} = e^{-2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{6 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{6 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 5\right) - 1}{3 x + 5}\right)^{6 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{3 x + 5} + \frac{3 x + 5}{3 x + 5}\right)^{6 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{3 x + 5}\right)^{6 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 5}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{3 x + 5}\right)^{6 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 10}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{6 x} = e^{-2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{6 x} = e^{-2}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{6 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{6 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{6 x} = \frac{117649}{262144}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{6 x} = \frac{117649}{262144}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{6 x} = e^{-2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{6 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{6 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{6 x} = \frac{117649}{262144}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{6 x} = \frac{117649}{262144}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{6 x} = e^{-2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico